影子價格長短期劃分及其計算
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摘要：影子價格對資源配置具有重要的指導(dǎo)意義。但是影子價格的定義方式通常與短期生產(chǎn)相聯(lián)系，而長期生產(chǎn)多資源要素的變化往往被忽視。區(qū)分生產(chǎn)短、長期，通過方向?qū)?shù)來確定長期生產(chǎn)資源調(diào)整的影子價格。
關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；影子價格；方向?qū)?shù)；資源配置
引言
影子價格是運籌學(xué)、管理學(xué)和經(jīng)濟學(xué)中的一個重要概念。在實際計算中采用一般偏向求導(dǎo)法或者單純形表可以衡量資源的影子價格。但是，長期生產(chǎn)所對應(yīng)的影子價格的論述較為罕見。本項研究試圖借助Aucamp與Steinberge等的研究成果，從對偶函數(shù)的極點值著手，利用Akgulm所提出的影子價格方向?qū)?shù)定義，計算短、長期生產(chǎn)所對應(yīng)的影子價格。
一、問題的提出
影子價格與線性規(guī)劃對偶理論淵源極深，考慮如下一對線性規(guī)劃問題，原規(guī)劃問題（1）。
maxcjxj=zs.t. aijxi≤bi，i=1，2，…，m xi≥0，j=1，2，…，n（1）
maxbiyi=fs.t. aijyi≤cj，j=1，2，…，n yi≥0，i=1，2，…，m（2）
如果y*=（y*1，y*2，…，y*m）T為對偶規(guī)劃（2）的最優(yōu)解，則最優(yōu)值z*可看做是資源量bi（i=1，2，…，m）的一個函數(shù)，即z*=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m（3），對bi求右向偏導(dǎo)數(shù)即為y*i：
y*i=，i=1，2，…，m（4）
顯然，此影子價格僅對應(yīng)于一個短期生產(chǎn)問題，其前提是其他資源數(shù)量保持不變，一般通過單純形法求得。
考慮一個生產(chǎn)運作問題。設(shè)某工廠利用K、L兩種資源生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，資源要素量、產(chǎn)品的單位價格及可耗用的資源總量（如表1所示）：
表1 生產(chǎn)有關(guān)數(shù)據(jù)表
對于上述問題，為確定最優(yōu)資源配置計劃，以收益為目標(biāo)函數(shù)，以可耗資源為約束，構(gòu)造線性規(guī)劃問題（5）。
max３x1+2x2=zs.t. 2x1+x2≤600 x1+3x2≤400 x1，x2≥0（5）
利用單純形法對問題（5）求解，結(jié)果（如表2所示）。
表2初始線性規(guī)劃的最優(yōu)單純形
根據(jù)表2，推斷資源Ｋ的影子價格為，資源Ｌ的影子價格為。
但是，如果我們對資源K、L的數(shù)量同時進(jìn)行調(diào)整的長期生產(chǎn)問題，上述計算方法難以確定資源影子價格，需要引進(jìn)新的定義方式與計算方法。
二、影子價格的長期劃分與計算
本文擬借助Aucamp與Steinberge 等的研究成果，從生產(chǎn)最優(yōu)值函數(shù)的極點解進(jìn)行分析，通過Akgulm的方向?qū)?shù)進(jìn)而確定長期多資源變化的影子價格。
Akgulm定義了函數(shù)Z*（b1，…，bm）在資源組合點B處沿方向u=（u1，u2，…，um）T∈Rm的導(dǎo)數(shù)：
Duz*（b）=limt→0+ （6）
為資源組合u的影子價格。利用凸分析的一個結(jié)論，有Duz*（b）=min{uTy|y∈z*（b）}（7），通過（7）式我們可以求得多種資源變化時的影子價格，我們稱之為資源的組合影子價格。
三、長期資源調(diào)整的計算示例
對于例題，原規(guī)劃問題的對偶可行域的極點有三個，分別為（0，3）（，）（2，0），于是在短期生產(chǎn)范圍內(nèi)，給定b1=600不變，僅b2發(fā)生變化，即此時資源組合點B沿單位方向（0，1）方向發(fā)生變化：
=minb1，b23b2，b1+b2，2b1=0，3b1≤b2，b1≤b2≤3b13，0≤b2≤b1
?。?）
在長期范圍內(nèi)，多種資源甚至所有資源投入都可進(jìn)行調(diào)整，資源可以就任何方向進(jìn)行調(diào)整。比如，假設(shè)當(dāng)前要素組合沿單位方向=，進(jìn)行調(diào)整，由于最優(yōu)對偶解單一，此時資源組合的影子價格如下：
Dz*（b1，b2）=，1 800≤b1（a），300≤b2＜1 800（b），0≤b2＜300（c）（8）
結(jié)論
實際生產(chǎn)總表現(xiàn)出某種時期特性，不同時期特性下的影子價格定義方式、估計方法不盡相同。如果單純考察給定要素變動對收益的影響，采用收益函數(shù)對該要素的右向偏導(dǎo)數(shù)即可。如果給定時間范圍內(nèi)涉及到至少兩種以上生產(chǎn)要素的調(diào)整，則需采用方向?qū)?shù)方能測度投入要素對收益函數(shù)的影響，唯有如此才能根據(jù)影子價格合理指導(dǎo)資源配置。
參考文獻(xiàn)：
[1]劉舒燕.關(guān)于資源影子價格不唯一性問題的討論[J].運籌與管理，2001，(2)：33-36.
[2]D.C.Aucamp and D.I.Steinberg.The computation of shadow prices in linear Programming.The Journal the Operational Research Society[J]，Vol.33，No.6，1982：557-565.
[3]Akgulm.A note on shadow prices in linear programming.The Journal of the Operational Research Society[J]，Vol.35，No.5，1984：425-431.
[4]周永華，陳新，劉建斌，鄭芳英.影子價格及其經(jīng)濟意義[J].浙江理工大學(xué)學(xué)報，2006，(3)：145-150.
關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；影子價格；方向?qū)?shù)；資源配置
引言
影子價格是運籌學(xué)、管理學(xué)和經(jīng)濟學(xué)中的一個重要概念。在實際計算中采用一般偏向求導(dǎo)法或者單純形表可以衡量資源的影子價格。但是，長期生產(chǎn)所對應(yīng)的影子價格的論述較為罕見。本項研究試圖借助Aucamp與Steinberge等的研究成果，從對偶函數(shù)的極點值著手，利用Akgulm所提出的影子價格方向?qū)?shù)定義，計算短、長期生產(chǎn)所對應(yīng)的影子價格。
一、問題的提出
影子價格與線性規(guī)劃對偶理論淵源極深，考慮如下一對線性規(guī)劃問題，原規(guī)劃問題（1）。
maxcjxj=zs.t. aijxi≤bi，i=1，2，…，m xi≥0，j=1，2，…，n（1）
maxbiyi=fs.t. aijyi≤cj，j=1，2，…，n yi≥0，i=1，2，…，m（2）
如果y*=（y*1，y*2，…，y*m）T為對偶規(guī)劃（2）的最優(yōu)解，則最優(yōu)值z*可看做是資源量bi（i=1，2，…，m）的一個函數(shù)，即z*=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m（3），對bi求右向偏導(dǎo)數(shù)即為y*i：
y*i=，i=1，2，…，m（4）
顯然，此影子價格僅對應(yīng)于一個短期生產(chǎn)問題，其前提是其他資源數(shù)量保持不變，一般通過單純形法求得。
考慮一個生產(chǎn)運作問題。設(shè)某工廠利用K、L兩種資源生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，資源要素量、產(chǎn)品的單位價格及可耗用的資源總量（如表1所示）：
表1 生產(chǎn)有關(guān)數(shù)據(jù)表
對于上述問題，為確定最優(yōu)資源配置計劃，以收益為目標(biāo)函數(shù)，以可耗資源為約束，構(gòu)造線性規(guī)劃問題（5）。
max３x1+2x2=zs.t. 2x1+x2≤600 x1+3x2≤400 x1，x2≥0（5）
利用單純形法對問題（5）求解，結(jié)果（如表2所示）。
表2初始線性規(guī)劃的最優(yōu)單純形
根據(jù)表2，推斷資源Ｋ的影子價格為，資源Ｌ的影子價格為。
但是，如果我們對資源K、L的數(shù)量同時進(jìn)行調(diào)整的長期生產(chǎn)問題，上述計算方法難以確定資源影子價格，需要引進(jìn)新的定義方式與計算方法。
二、影子價格的長期劃分與計算
本文擬借助Aucamp與Steinberge 等的研究成果，從生產(chǎn)最優(yōu)值函數(shù)的極點解進(jìn)行分析，通過Akgulm的方向?qū)?shù)進(jìn)而確定長期多資源變化的影子價格。
Akgulm定義了函數(shù)Z*（b1，…，bm）在資源組合點B處沿方向u=（u1，u2，…，um）T∈Rm的導(dǎo)數(shù)：
Duz*（b）=limt→0+ （6）
為資源組合u的影子價格。利用凸分析的一個結(jié)論，有Duz*（b）=min{uTy|y∈z*（b）}（7），通過（7）式我們可以求得多種資源變化時的影子價格，我們稱之為資源的組合影子價格。
三、長期資源調(diào)整的計算示例
對于例題，原規(guī)劃問題的對偶可行域的極點有三個，分別為（0，3）（，）（2，0），于是在短期生產(chǎn)范圍內(nèi)，給定b1=600不變，僅b2發(fā)生變化，即此時資源組合點B沿單位方向（0，1）方向發(fā)生變化：
=minb1，b23b2，b1+b2，2b1=0，3b1≤b2，b1≤b2≤3b13，0≤b2≤b1
?。?）
在長期范圍內(nèi)，多種資源甚至所有資源投入都可進(jìn)行調(diào)整，資源可以就任何方向進(jìn)行調(diào)整。比如，假設(shè)當(dāng)前要素組合沿單位方向=，進(jìn)行調(diào)整，由于最優(yōu)對偶解單一，此時資源組合的影子價格如下：
Dz*（b1，b2）=，1 800≤b1（a），300≤b2＜1 800（b），0≤b2＜300（c）（8）
結(jié)論
實際生產(chǎn)總表現(xiàn)出某種時期特性，不同時期特性下的影子價格定義方式、估計方法不盡相同。如果單純考察給定要素變動對收益的影響，采用收益函數(shù)對該要素的右向偏導(dǎo)數(shù)即可。如果給定時間范圍內(nèi)涉及到至少兩種以上生產(chǎn)要素的調(diào)整，則需采用方向?qū)?shù)方能測度投入要素對收益函數(shù)的影響，唯有如此才能根據(jù)影子價格合理指導(dǎo)資源配置。
參考文獻(xiàn)：
[1]劉舒燕.關(guān)于資源影子價格不唯一性問題的討論[J].運籌與管理，2001，(2)：33-36.
[2]D.C.Aucamp and D.I.Steinberg.The computation of shadow prices in linear Programming.The Journal the Operational Research Society[J]，Vol.33，No.6，1982：557-565.
[3]Akgulm.A note on shadow prices in linear programming.The Journal of the Operational Research Society[J]，Vol.35，No.5，1984：425-431.
[4]周永華，陳新，劉建斌，鄭芳英.影子價格及其經(jīng)濟意義[J].浙江理工大學(xué)學(xué)報，2006，(3)：145-150.