高一上冊(cè)數(shù)學(xué)單調(diào)性與最大小值教案
數(shù)學(xué)教師要上好課并取得良好的效果,最關(guān)鍵的步驟就是備好課,其中備好課就是做好教案!為此，下面學(xué)習(xí)啦小編整理了人教版高一上冊(cè)數(shù)學(xué)單調(diào)性與最大小值教案案以供大家閱讀。
人教版高一上冊(cè)數(shù)學(xué)單調(diào)性與最大小值教案
教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法.
2.通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力;通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力.
3.通過知識(shí)的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程.
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明.
教學(xué)難點(diǎn)：歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性.
教學(xué)方法
教師啟發(fā)講授，學(xué)生 探究學(xué)習(xí).
教學(xué)手段
計(jì)算機(jī)、投影儀.
教學(xué)過程
創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
課前布置任務(wù)：
(1)由于某種原因，2008年北京奧運(yùn)會(huì)開幕式時(shí)間由原定的7月25日推遲到8月8日，請(qǐng)查閱資料說明做出這個(gè)決定的主要原因.
(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會(huì)開幕式當(dāng)天氣溫變化情況.
課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜舉辦大型國(guó)際體育賽事.
下圖是北京市某年8月8日一天24小時(shí)內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的曲線圖.
圖1
引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考.
問題：觀察圖形，能得到什么信息?
預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時(shí)達(dá)到;
(2)在某時(shí)刻的溫度;
(3)某些時(shí)段溫度升高，某些時(shí)段溫度降低.
在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對(duì)我們的生活是很有幫助的.
問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎?
預(yù)案：水位高低、燃油價(jià)格、股票價(jià)格等.
歸納：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小.
【設(shè)計(jì)意圖】由生活情境引入新課，激發(fā)興趣.
歸納探索，形成概念
對(duì)于自變量變化時(shí)，函數(shù)值是變大還是變小，初中時(shí)同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識(shí)，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.
1.借助圖象，直觀感知
問題1：分別作出函數(shù)y=x+2，y=-x+2，y=x2，y=1x的圖象，并且觀察自變量變化時(shí)，函數(shù)值有什么變化規(guī)律?
圖2
預(yù)案 ：(1)函數(shù)y=x+2在整個(gè)定義域內(nèi)y隨x的增大而增大;函數(shù)y=-x+2在整個(gè)定義域內(nèi)y隨x的增大而減小.
(2 )函數(shù)y=x2在[0，+∞)上y隨x的增大而增大，在(-∞，0)上y隨x的增大而減小.
(3)函數(shù)y=1x在(0，+∞)上y隨x的增大而減小，在(-∞，0)上y隨x的增大而減小.
引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))，同時(shí)明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì).
問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)?
預(yù)案：如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為減函數(shù).
教師指出：這種認(rèn)識(shí)是從圖象的角度得到的，是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀認(rèn)識(shí).
【設(shè)計(jì)意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí).
2.探究規(guī)律，理性認(rèn)識(shí)
問題1：下圖是函數(shù)y=x+2x(x>0)的圖象，能說出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎?
圖3
學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置.
通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究.
【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性.
問題2：如何從解析式的角度說明f(x)=x2在[0，+∞)為增函數(shù)?
預(yù)案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如1和2，因?yàn)?2<22，所以f(x)=x2在[0，+∞)為增函數(shù).
(2)仿(1)，取很多組驗(yàn)證均滿足，所以f(x)=x2在[0，+∞)為增函數(shù).
(3)任取x1，x2∈[0，+∞)，且x1
所以f(x)=x2在[0，+∞)為增函數(shù).
對(duì)于學(xué)生錯(cuò)誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量x1，x2.
【設(shè)計(jì)意圖】把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性的高度，完成對(duì)概念的第二次認(rèn)識(shí).事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好了鋪墊.
3.抽象思維，形成概念
問題：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述出增函數(shù)的定義嗎?
師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義.
(1)板書定義
(2)鞏固概念
判斷題：
?、僖阎猣(x)=1x，因?yàn)閒(-1)
②若函數(shù)f(x)滿足f(2)
?、廴艉瘮?shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).
④因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1x在區(qū)間(-∞，0)和(0，+∞)上都是減函數(shù)，所以f(x)=1x在(-∞，0)∪(0，+∞)上是減函數(shù).
通過判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：
①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性.
?、趯?duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù)).
③函數(shù)在定義域 內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A，B上都是增(或減)函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在A∪B上是增(或減)函數(shù).
思考：如何說明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對(duì)判斷題的辨析，加深學(xué)生對(duì)定義的理解，完成對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí).
掌握證法，適當(dāng)延展
【例】證明函數(shù)f(x)=x+2x在(2，+∞)上是增函數(shù).
1.分析解決問題
針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流.
證明：任取x1，x2∈(2，+∞)，且x1
f(x1)-f(x2)=x1+2x1-x2+2x2求差
=(x1-x2)+2x1-2x2
=(x1-x2)+2(x2-x1)x1x2=(x1-x2)1-2x1x2=(x1-x2)x1x2-2x1x2，變形
∵2
∴x1-x2<0，x1x2>2，∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)
∴函數(shù)f(x)=x+2x在(2，+∞)上是增函數(shù).定論
2.歸納解題步驟
引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論.
練習(xí)：證明函數(shù)f(x)=x在[0，+∞)上是增函數(shù).
問題：要證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對(duì)任意的x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2有f(x2)-f(x1)x2-x1>0可以嗎?
引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性，讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明函數(shù)f(x)=x在[0，+∞)上是增函數(shù).
【設(shè)計(jì)意圖】初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.等價(jià)形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.
歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)
學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié).
1.小結(jié)
(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論.
(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，類比等.
2.作業(yè)
書面作業(yè)：課本習(xí)題1.3 A組第1,2,3題.
課后探究：
(1)證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的x，x+h∈(a，b)，且h≠0有f(x+h)-f(x)h>0.
(2)研究函數(shù)y=x+1x(x>0)的單調(diào)性，并結(jié)合描點(diǎn)法畫出函數(shù)的草圖.
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