反三角函數(shù)的定義域是什么
反三角函數(shù)的定義域是什么
反三角函數(shù)是一種數(shù)學(xué)術(shù)語。反三角函數(shù)并不能狹義的理解為三角函數(shù)的反函數(shù)，是個(gè)多值函數(shù)。它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x這些函數(shù)的統(tǒng)稱，各自表示其正弦、余弦、正切、余切為x的角。以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于反三角函數(shù)定義域，歡迎大家前來閱讀!
反三角函數(shù)定義域
y=arcsin(x)，定義域[-1，1]
y=arccos(x)，定義域[-1，1]
y=arctan(x)，定義域(-∞，+∞)
y=arccot(x)，定義域(-∞，+∞)
sin(arcsin x)=x，定義域[-1，1]
反三角函數(shù)數(shù)學(xué)術(shù)語
為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù)，將反正弦函數(shù)的值y限在-π/2≤y≤π/2，將y作為反正弦函數(shù)的主值，記為y=arcsin x;相應(yīng)地，反余弦函數(shù)y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函數(shù)y=arctan x的主值限在-π/2
反三角函數(shù)實(shí)際上并不能叫做函數(shù)，因?yàn)樗⒉粷M足一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值的要求，其圖像與其原函數(shù)關(guān)于函數(shù)y=x對(duì)稱。其概念首先由歐拉提出，并且首先使用了【arc+函數(shù)名】的形式表示反三角函數(shù)，而不是f-1(x)。
?、耪液瘮?shù)y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函數(shù)，叫做反正弦函數(shù)。arcsinx表示一個(gè)正弦值為x的角，該角的范圍在[-π/2，π/2]區(qū)間內(nèi)?！緢D中紅線】
?、朴嘞液瘮?shù)y=cosx在[0，π]上的反函數(shù)，叫做反余弦函數(shù)。arccosx表示一個(gè)余弦值為x的角，該角的范圍在[0，π]區(qū)間內(nèi)?！緢D中藍(lán)線】
?、钦泻瘮?shù)y=tanx在(-π/2，π/2)上的反函數(shù)，叫做反正切函數(shù)。arctanx表示一個(gè)正切值為x的角，該角的范圍在(-π/2，π/2)區(qū)間內(nèi)。【圖中綠線】
注釋：【圖的畫法根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)即：反函數(shù)圖像關(guān)于y=x對(duì)稱】
反三角函數(shù)主要是三個(gè)：
y=arcsin(x)，定義域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]圖象用深紅色線條;
y=arccos(x)，定義域[-1，1]，值域[0，π]，圖象用深藍(lán)色線條;
y=arctan(x)，定義域(-∞，+∞)，值域(-π/2，π/2)，圖象用淺綠色線條;
y=arccot(x)，定義域(-∞，+∞)，值域(0，π)，暫無圖象;
sin(arcsinx)=x，定義域[-1，1]，值域[-1，1]arcsin(-x)=-arcsinx
證明方法如下：設(shè)arcsin(x)=y，則sin(y)=x，將這兩個(gè)式子代入上式即可得
其他幾個(gè)用類似方法可得
cos(arccosx)=x，arccos(-x)=π-arccosx
tan(arctanx)=x，arctan(-x)=-arctanx
反三角函數(shù)數(shù)學(xué)公式
反三角函數(shù)其他公式：
cos(arcsinx)=(1-x^2)^0.5
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x
arcsinx=x+x^3/(2*3)+(1*3)x^5/(2*4*5)+1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1)!!表示雙階乘
arccosx=π-(x+x^3/(2*3)+(1*3)x^5/(2*4*5)+1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1)
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……
舉例
當(dāng)x∈[-π/2，π/2]有arcsin(sinx)=x
x∈[0，π]，arccos(cosx)=x
x∈(-π/2，π/2)，arctan(tanx)=x
x∈(0，π)，arccot(cotx)=x
x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx類似
若(arctanx+arctany)∈(-π/2，π/2)，則arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))
例如，arcsinχ表示角α，滿足α∈[-π/2，π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β，滿足β∈[0，π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ，滿足φ∈(-π/2，π/2)且tanφ=2
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