角平分線(xiàn)的定義是什么
角平分線(xiàn)的定義是什么
三角形的角平分線(xiàn)是指在三角形中,一個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)與它的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線(xiàn)段叫做三角形的角平分線(xiàn)。角平分線(xiàn)的定義是什么?以下是學(xué)習(xí)啦小編分享給大家的關(guān)于角平分線(xiàn)的定義，歡迎大家前來(lái)閱讀!
角平分線(xiàn)的定義
角平分線(xiàn)定義(Anglebisectordefinition)從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線(xiàn)，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的角平分線(xiàn)(bisectorofangle)。三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，是該三角形內(nèi)切圓的圓心。其它解釋?zhuān)航瞧椒志€(xiàn)是在角的型內(nèi)及形上，到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡。
角平分線(xiàn)的性質(zhì)
在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。
(逆定理)在一個(gè)角的內(nèi)部(包括頂點(diǎn))且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線(xiàn)上。
三角形的角平分線(xiàn)定義
三角形的一個(gè)角的平分線(xiàn)與這個(gè)角的對(duì)邊相交，連結(jié)這個(gè)角的頂點(diǎn)和與對(duì)邊交點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的角平分線(xiàn)(也叫三角形的內(nèi)角平分線(xiàn))。 由定義可知，三角形的角平分線(xiàn)是一條線(xiàn)段。 由于三角形有三個(gè) 內(nèi)角，所以三角形有三條角平分線(xiàn)。三角形的角平分線(xiàn)交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部。
角平分線(xiàn)的其它解釋
角平分線(xiàn)可以看作是到角兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。
三角形的一個(gè)角的平分線(xiàn)與這個(gè)角的對(duì)邊相交，連結(jié)這個(gè)角的頂點(diǎn)和與對(duì)邊交點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的角平分線(xiàn)(也叫三角形的內(nèi)角平分線(xiàn))。 由定義可知，三角形的角平分線(xiàn)是一條線(xiàn)段。 由于三角形有三個(gè) 內(nèi)角，所以三角形有三個(gè)角平分線(xiàn)。三角形的角平分線(xiàn)交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部。
角平分線(xiàn)的作法
在角AOB中，畫(huà)角平分線(xiàn)
方法一：1.以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交角AOB兩邊于點(diǎn)M，N。
2.分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于1/2MN的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P。
3.作射線(xiàn)OP。
則射線(xiàn)OP為角AOB的角平分線(xiàn)。
證明：連接PM,PN
在△POM和△PON中
∵OM=ON,PM=PN,PO=PO
∴△POM≌△PON(SSS)
∴∠POM=∠PON，即射線(xiàn)OP為角AOB的角平分線(xiàn)
當(dāng)然，角平分線(xiàn)的作法有很多種。下面再提供一種 尺規(guī)作圖的方法供參考。
方法二：1.在兩邊OA、OB上分別截取OM、OC和ON、OD，且使得OM=ON，OC=OD;
2.連接CN與DM，他們相交于點(diǎn)P;
3.作射線(xiàn)OP。
則射線(xiàn)OP為角AOB的角平分線(xiàn)。
角平分線(xiàn)的舉例
求證：三角形內(nèi)角平分線(xiàn)分對(duì)邊所得的兩條線(xiàn)段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。
如圖，若AD是△ABC的角平分線(xiàn)，則 BD/DC=AB/AC 。
證明：作CE∥AD交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于E。
∵CE∥AD
∴△BDA∽△BCE
∴BA/BE=BD/BC
∴ BA/AE=BD/DC
∵CE∥AD
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∴ ∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E
即∠ACE=∠E
∴ AE=AC
又∵BA/AE=BD/DC
∴BA/AC=BD/DC
(注：例題中∵、∴分別表示為因?yàn)?、所?
角平分線(xiàn)的判斷
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，都在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。
判定定理的證明：如圖，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求證：OC平分∠AOB
證明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：
OP=OP，PD=PE
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)
∴∠1=∠2
∴ OC平分∠AOB
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