8年級數(shù)學上冊12.2三角形全等的判定單元測試題及答案
8年級數(shù)學上冊12.2三角形全等的判定單元測試題及答案
八年級數(shù)學單元考試的時候要認真做題，不能敷衍了事。下面小編給大家分享一些8年級數(shù)學上冊12.2三角形全等的判定單元測試題，大家快來跟小編一起看看吧。
8年級數(shù)學上冊12.2三角形全等的判定單元試題
一、填空題
1.如圖，已知等邊△ABC，AB=2，點D在AB上，點F在AC的延長線上，BD=CF，DE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G，DF交BC于點P，則下列結論：①BE=CG;②△EDP≌△GFP;③∠EDP=60°;④EP=1中，一定正確的是 .
2.如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，∠DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q.若PQ=AE，則AP等于 cm.
3.如圖，矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連結EF交CD于點G.若G是CD的中點，則BC的長是 .
4.如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長為 .
5.如圖，已知△ABC三個內角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，則∠BCA的度數(shù)為 .
6.已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形(用陰影表示)，點B1在y軸上且坐標是(0，2)，點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標是(1，0).B1C1∥B2C2∥B3C3，以此繼續(xù)下去，則點A2014到x軸的距離是 .
7.如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF= .
8.如圖，在邊長為6 的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE=DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點H，交AD于點F，連接CE，BH.若BH=8，則FG= .
9.如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為 .
10.如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE.設△ACD、△BCE、△ABC的面積分別是S1、S2、S3，現(xiàn)有如下結論：
?、賁1：S2=AC2：BC2;
?、谶B接AE，BD，則△BCD≌△ECA;
③若AC⊥BC，則S1•S2= S32.
其中結論正確的序號是 .
二、解答題
11.如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，且BE=AF，CE、BF交于點P.
(1)求證：CE=BF;
(2)求∠BPC的度數(shù).
12.如圖，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F(xiàn)，連結BE，CF.
(1)請你添加一個條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是 ，并證明.
(2)在問題(1)中，當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由.
13.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點E，EF⊥AB于點F，點F恰好是AB的一個三等分點(AF>BF).
(1)求證：△ACE≌△AFE;
(2)求tan∠CAE的值.
14.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點A且MN∥BC，過點B為一銳角頂點作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點D在直線MN上(不與點A重合)，如圖1，DE與AC交于點P，易證：BD=DP.(無需寫證明過程)
(1)在圖2中，DE與CA延長線交于點P，BD=DP是否成立?如果成立，請給予證明;如果不成立，請說明理由;
(2)在圖3中，DE與AC延長線交于點P，BD與DP是否相等?請直接寫出你的結論，無需證明.
15.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=CF，連接OE，OF.求證：OE=OF.
16.如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，連接BP、DP，延長BC到E，使PB=PE.求證：∠PDC=∠PEC.
17.如圖，已知△ABC中AB=AC.
(1)作圖：在AC上有一點D，延長BD，并在BD的延長線上取點E，使AE=AB，連AE，作∠EAC的平分線AF，AF交DE于點F(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法);
(2)在(1)的條件下，連接CF，求證：∠E=∠ACF.
18.探究：如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結CD，AE，求證：△ACE≌△CBD.
應用：如圖②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結CD，EA，延長EA交CD于點G，求∠CGE的度數(shù).
19.(1)如圖1，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：∠A=∠D.
(2)如圖2，在邊長為1個單位長度的小正方形所組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上.
?、賡inB的值是 ;
?、诋嫵觥鰽BC關于直線l對稱的△A1B1C1(A與A1，B與B1，C與C1相對應)，連接AA1，BB1，并計算梯形AA1B1B的面積.
20.在平面內正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M.求證：
(1)BH=DE.
(2)BH⊥DE.
21.如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E為AD上一點，連接BE，CE.
(1)求證：BE=CE;
(2)以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G.若BC=4，∠EBD=30°，求圖中陰影部分(扇形)的面積.
22.如圖所示，已知∠1=∠2，請你添加一個條件，證明：AB=AC.
(1)你添加的條件是 ;
(2)請寫出證明過程.
23.如圖，在等邊△ABC中，點D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點E，過點C作CF∥AB交直線DN于點F.
(1)當點D在線段BC上，∠NDB為銳角時，如圖①，求證：CF+BE=CD;
(提示：過點F作FM∥BC交射線AB于點M.)
(2)當點D在線段BC的延長線上，∠NDB為銳角時，如圖②;當點D在線段CB的延長線上，∠NDB為鈍角時，如圖③，請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關系，不需要證明;
(3)在(2)的條件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4 ，則BE= ，CD= .
24.如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點，且AE⊥BF，垂足為點G.
求證：AE=BF.
25.如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同側作任意Rt△DBC，∠BDC=90°.
(1)若CD=2BD，M是CD中點(如圖1)，求證：△ADB≌△AMC;
下面是小明的證明過程，請你將它補充完整：
證明：設AB與CD相交于點O，
∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，
∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°.
∵∠DOB=∠AOC，
∴∠DBO=∠① .
∵M是DC的中點，
∴CM= CD=② .
又∵AB=AC，
∴△ADB≌△AMC.
(2)若CD
(3)當CD≠BD時，線段AD，BD與CD滿足怎樣的數(shù)量關系?請直接寫出.
26.如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點G.
(1)求證：AE=CF;
(2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小.
27.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.
求證：①ME⊥BC;②DE=DN.
28.【問題提出】
學習了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究.
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.
【深入探究】
第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF.
(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF.
(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.
第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ，則△ABC≌△DEF.
29.問題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點.且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系.
小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是 ;
探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF= ∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由;
實際應用：
如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離.
30.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF.
(1)證明：△CBF≌△CDF;
(2)若AC=2 ，BD=2，求四邊形ABCD的周長;
(3)請你添加一個條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明.
8年級數(shù)學上冊12.2三角形全等的判定單元測試題參考答案
一、填空題
1.如圖，已知等邊△ABC，AB=2，點D在AB上，點F在AC的延長線上，BD=CF，DE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G，DF交BC于點P，則下列結論：①BE=CG;②△EDP≌△GFP;③∠EDP=60°;④EP=1中，一定正確的是?、佗冖堋?
【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質.
【分析】由等邊三角形的性質可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，從而得出結論.
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵∠ACB=∠GCF，
∵DE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°.
在△DEB和△FGC中，
，
∴△DEB≌△FGC(AAS)，
∴BE=CG，DE=FG，故①正確;
在△DEP和△FGP中，
，
∴△DEP≌△FGP(AAS)，故②正確;
∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③錯誤;
∵PG=PC+CG，
∴PE=PC+BE.
∵PE+PC+BE=2，
∴PE=1，故④正確.
故答案為：①②④.
【點評】本題考查了等邊三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵.
2.如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，∠DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q.若PQ=AE，則AP等于 1或2 cm.
【考點】全等三角形的判定與性質;正方形的性質;解直角三角形.
【專題】分類討論.
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長，進而利用勾股定理求出AE的長，根據(jù)M為AE中點求出AM的長，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對應邊，對應角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長，再利用對稱性確定出AP′的長即可.
【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點N，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
∴tan30°= ，即DE= cm，
根據(jù)勾股定理得：AE= =2 cm，
∵M為AE的中點，
∴AM= AE= cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)，
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°= ，
∴AP= = =2cm;
由對稱性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，
綜上，AP等于1cm或2cm.
故答案為：1或2.
【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵.
3.如圖，矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連結EF交CD于點G.若G是CD的中點，則BC的長是 7 .
【考點】全等三角形的判定與性質;線段垂直平分線的性質;勾股定理;矩形的性質.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】根據(jù)線段中點的定義可得CG=DG，然后利用“角邊角”證明△DEG和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE=CF，EG=FG，設DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據(jù)矩形的對邊相等可得BC=AD.
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中點，AB=8，
∴CG=DG= ×8=4，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG(ASA)，
∴DE=CF，EG=FG，
設DE=x，
則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，EG= = ，
∴EF=2 ，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=2 ，
解得x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7.
故答案為：7.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，勾股定理，熟記各性質并利用勾股定理列出方程是解題的關鍵.
4.如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長為 .
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形;正方形的性質.
【專題】計算題;幾何圖形問題.
【分析】在BE上截取BG=CF，連接OG，證明△OBG≌△OCF，則OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長，即可求得OF的長.
【解答】解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，
∵RT△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG與△OCF中
∴△OBG≌△OCF(SAS)
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，
∴EC=2，
∴BE= = =2 ，
∵BC2=BF•BE，
則62=BF ，解得：BF= ，
∴EF=BE﹣BF= ，
∵CF2=BF•EF，
∴CF= ，
∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF= ，
在等腰直角△OGF中
OF2= GF2，
∴OF= .
故答案為： .
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應用.
5.如圖，已知△ABC三個內角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，則∠BCA的度數(shù)為 60° .
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰三角形的性質.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】可證明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根據(jù)∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分線可得∠BAO=40°，從而得出∠DAO=140°，根據(jù)AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，則∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°
【解答】解：∵△ABC三個內角的平分線交于點O，
∴∠ACO=∠BCO，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB，
∴∠D=∠CBO，
∵∠BAC=80°，
∴∠BAD=100°，
∴∠BAO=40°，
∴∠DAO=140°，
∵AD=AO，∴∠D=20°，
∴∠CBO=20°，
∴∠ABC=40°，
∴∠BCA=60°，
故答案為：60°.
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質，證明三角形全等是解決此題的關鍵.
6.已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖所示的正方形(用陰影表示)，點B1在y軸上且坐標是(0，2)，點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標是(1，0).B1C1∥B2C2∥B3C3，以此繼續(xù)下去，則點A2014到x軸的距離是 .
【考點】全等三角形的判定與性質;規(guī)律型：點的坐標;正方形的性質;相似三角形的判定與性質.
【專題】規(guī)律型.
【分析】根據(jù)勾股定理可得正方形A1B1C1D1的邊長為 = ，根據(jù)相似三角形的性質可得后面正方形的邊長依次是前面正方形邊長的 ，依次得到第2014個正方形和第2014個正方形的邊長，進一步得到點A2014到x軸的距離.
【解答】解：如圖，∵點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△C1E1D1，…，
∴B2E2=1，B3E4= ，B4E6= ，B5E8= …，
∴B2014E4016= ，
作A1E⊥x軸，延長A1D1交x軸于F，
則△C1D1F∽△C1D1E1，
∴ = ，
在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1，
正方形A1B1C1D1的邊長為為 = ，
∴D1F= ，
∴A1F= ，
∵A1E∥D1E1，
∴ = ，
∴A1E=3，∴ = ，
∴點A2014到x軸的距離是 × =
故答案為： .
【點評】此題主要考查了正方形的性質以及解直角三角形的知識，得出正方形各邊長是解題關鍵.
7.如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF= 6 .
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】根據(jù)題中條件由SAS可得△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質可得AC=DF=6.
【解答】證明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF
∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴AC=DF=6.
故答案是：6.
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質問題，應熟練掌握.全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.
8.如圖，在邊長為6 的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE=DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點H，交AD于點F，連接CE，BH.若BH=8，則FG= 5 .
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形;正方形的性質;相似三角形的判定與性質.
【專題】幾何圖形問題;壓軸題.
【分析】如解答圖，連接CG，首先證明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形;過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，進而證明△HEM≌△HCN，得到四邊形MBNH為正方形，由此求出CH、HN、CN的長度;最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的長度.
【解答】解：如圖所示，連接CG.
在△CGD與△CEB中
∴△CGD≌△CEB(SAS)，
∴CG=CE，∠GCD=∠ECB，
∴∠GCE=90°，即△GCE是等腰直角三角形.
又∵CH⊥GE，
∴CH=EH=GH.
過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，則∠MHN=90°，
又∵∠EHC=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠HEM=∠HCN.
在△HEM與△HCN中，
∴△HEM≌△HCN(ASA).
∴HM=HN，
∴四邊形MBNH為正方形.
∵BH=8，
∴BN=HN=4 ，
∴CN=BC﹣BN=6 ﹣4 =2 .
在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH=2 .
∴GH=CH=2 .
∵HM∥AG，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3.
又∵∠HNC=∠GHF=90°，
∴Rt△HCN∽Rt△GFH.
∴ ，即 ，
∴FG=5 .
故答案為：5 .
【點評】本題是幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知識點，難度較大.作出輔助線構造全等三角形與相似三角形，是解決本題的關鍵.
9.如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為 .
【考點】全等三角形的判定與性質;勾股定理;等腰直角三角形.
【專題】計算題;壓軸題.
【分析】根據(jù)等式的性質，可得∠BAD與∠CAD′的關系，根據(jù)SAS，可得△BAD與△CAD′的關系，根據(jù)全等三角形的性質，可得BD與CD′的關系，根據(jù)勾股定理，可得答案.
【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′.
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′= ，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′= ，
∴BD=CD′= ，
故答案為： .
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了全等三角形的判定與性質，勾股定理，作出全等圖形是解題關鍵.
10.如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE.設△ACD、△BCE、△ABC的面積分別是S1、S2、S3，現(xiàn)有如下結論：
?、賁1：S2=AC2：BC2;
②連接AE，BD，則△BCD≌△ECA;
?、廴鬉C⊥BC，則S1•S2= S32.
其中結論正確的序號是?、佗冖邸?
【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質.
【分析】①根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方判斷;
?、诟鶕?jù)SAS即可求得全等;
?、鄹鶕?jù)面積公式即可判斷.
【解答】①S1：S2=AC2：BC2正確，
解：∵△ADC與△BCE是等邊三角形，
∴△ADC∽△BCE，
∴S1：S2=AC2：BC2.
?、凇鰾CD≌△ECA正確，
證明：∵△ADC與△BCE是等邊三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE與△DCB中，
，
∴△BCD≌△ECA(SAS).
③若AC⊥BC，則S1•S2= S32正確，
解：設等邊三角形ADC的邊長=a，等邊三角形BCE邊長=b，則△ADC的高= a，△BCE的高= b，
∴S1= a a= a2，S2= b b= b2，
∴S1•S2= a2 b2= a2b2，
∵S3= ab，
∴S32= a2b2，
∴S1•S2= S32.
【點評】本題考查了三角形全等的判定，等邊三角形的性質，面積公式以及相似三角形面積的比等于相似比的平方，熟知各性質是解題的關鍵.
二、解答題
11.如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，且BE=AF，CE、BF交于點P.
(1)求證：CE=BF;
(2)求∠BPC的度數(shù).
【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質.
【分析】(1)欲證明CE=BF，只需證得△BCE≌△ABF;
(2)利用(1)中的全等三角形的性質得到∠BCE=∠ABF，則由圖示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根據(jù)三角形內角和定理求得∠BPC=120°.
【解答】(1)證明：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
∴在△BCE與△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF(SAS)，
∴CE=BF;
(2)解：∵由(1)知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°﹣60°=120°.
即：∠BPC=120°.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質.全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.
12.如圖，在四邊形ABCD中，點H是BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E，F(xiàn)，連結BE，CF.
(1)請你添加一個條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是 EH=FH ，并證明.
(2)在問題(1)中，當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由.
【考點】全等三角形的判定與性質;矩形的判定.
【專題】幾何綜合題;分類討論.
【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定方法，可得出當EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH時，都可以證明△BEH≌△CFH，
(2)由(1)可得出四邊形BFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時，四邊形BFCE是矩形.
【解答】(1)答：添加：EH=FH，
證明：∵點H是BC的中點，
∴BH=CH，
在△BEH和△CFH中，
，
∴△BEH≌△CFH(SAS);
(2)解：∵BH=CH，EH=FH，
∴四邊形BFCE是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形為平行四邊形)，
∵當BH=EH時，則BC=EF，
∴平行四邊形BFCE為矩形(對角線相等的平行四邊形為矩形).
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定，是基礎題，難度不大.
13.(2014•株洲)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點E，EF⊥AB于點F，點F恰好是AB的一個三等分點(AF>BF).
(1)求證：△ACE≌△AFE;
(2)求tan∠CAE的值.
【考點】全等三角形的判定與性質;角平分線的性質;勾股定理;銳角三角函數(shù)的定義.
【專題】證明題.
【分析】(1)根據(jù)角的平分線的性質可求得CE=EF，然后根據(jù)直角三角形的判定定理求得三角形全等.
(2)由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，設BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，根據(jù)勾股定理可求得，tan∠B= = ，CE=EF= ，在RT△ACE中，tan∠CAE= = = ;
【解答】(1)證明：∵AE是∠BAC的平分線，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE=EF，
在Rt△ACE與Rt△AFE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL);
(2)解：由(1)可知△ACE≌△AFE，
∴AC=AF，CE=EF，
設BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，
∴BC= = = m，
解法一：∵∠C=∠EFB=90°，
∴△EFB∽△ACB，
∴ = ，
∵CE=EF，
∴ = = ;
解法二：∴在RT△ABC中，tan∠B= = = ，
在RT△EFB中，EF=BF•tan∠B= ，
∴CE=EF= ，
在RT△ACE中，tan∠CAE= = = ;
∴tan∠CAE= .
【點評】本題考查了直角三角形的判定、性質和利用三角函數(shù)解直角三角形，根據(jù)已知條件表示出線段的值是解本題的關鍵.
14.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點A且MN∥BC，過點B為一銳角頂點作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點D在直線MN上(不與點A重合)，如圖1，DE與AC交于點P，易證：BD=DP.(無需寫證明過程)
(1)在圖2中，DE與CA延長線交于點P，BD=DP是否成立?如果成立，請給予證明;如果不成立，請說明理由;
(2)在圖3中，DE與AC延長線交于點P，BD與DP是否相等?請直接寫出你的結論，無需證明.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形;平行四邊形的性質.
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)如答圖2，作輔助線，構造全等三角形△BDF≌△PDA，可以證明BD=DP;
(2)如答圖3，作輔助線，構造全等三角形△BDF≌△PDA，可以證明BD=DP.
【解答】題干引論：
證明：如答圖1，過點D作DF⊥MN，交AB于點F，
則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF.
∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°，
∴∠1=∠2.
在△BDF與△PDA中，
∴△BDF≌△PDA(ASA)
∴BD=DP.
(1)答：BD=DP成立.
證明：如答圖2，過點D作DF⊥MN，交AB的延長線于點F，
則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF.
∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，
∴∠1=∠2.
在△BDF與△PDA中，
∴△BDF≌△PDA(ASA)
∴BD=DP.
(2)答：BD=DP.
證明：如答圖3，過點D作DF⊥MN，交AB的延長線于點F，
則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF.
在△BDF與△PDA中，
∴△BDF≌△PDA(ASA)
∴BD=DP.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、平行線的性質等知識點，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.
15.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=CF，連接OE，OF.求證：OE=OF.
【考點】全等三角形的判定與性質;矩形的性質.
【專題】證明題.
【分析】欲證明OE=OF，只需證得△ODE≌△OCF即可.
【解答】證明：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
AC=BD，OD= BD，OC= AC，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC﹣∠ODC=∠BCD﹣∠OCD，
即∠EDO=∠FCO，
在△ODE與△OCF中，
，
∴△ODE≌△OCF(SAS)，
∴OE=OF.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的性質.全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.
16.如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，連接BP、DP，延長BC到E，使PB=PE.求證：∠PDC=∠PEC.
【考點】全等三角形的判定與性質;正方形的性質.
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=CD，對角線平分一組對角可得∠BCP=∠DCP，再利用“邊角邊”證明△BCP和△DCP全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠PDC=∠PBC，再根據(jù)等邊對等角可得∠PBC=∠PEC，從而得證.
【解答】證明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP(SAS)，
∴∠PDC=∠PBC，
∵PB=PE，
∴∠PBC=∠PEC，
∴∠PDC=∠PEC.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，等邊對等角的性質，熟記各性質并判斷出全等三角形是解題的關鍵.
17.如圖，已知△ABC中AB=AC.
(1)作圖：在AC上有一點D，延長BD，并在BD的延長線上取點E，使AE=AB，連AE，作∠EAC的平分線AF，AF交DE于點F(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法);
(2)在(1)的條件下，連接CF，求證：∠E=∠ACF.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰三角形的性質;作圖—復雜作圖.
【專題】作圖題;證明題.
【分析】(1)以A為圓心，以AB長為半徑畫弧，與BD的延長線的交點即為點E，再以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別與AC、AE相交，然后以這兩點為圓心，以大于它們 長度為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過點A與這一點作出射線與BE的交點即為所求的點F;
(2)求出AE=AC，根據(jù)角平分線的定義可得∠EAF=∠CAF，再利用“邊角邊”證明△AEF和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠E=∠ACF.
【解答】(1)解：如圖所示;
(2)證明：∵AB=AC，AE=AB，
∴AE=AC，
∵AF是∠EAC的平分線，
∴∠EAF=∠CAF，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF(SAS)，
∴∠E=∠ACF.
【點評】本題考查了全等三角形的判斷與性質，等腰三角形的性質，作一條線段等于已知線段，角平分線的作法，確定出全等三角形的條件是解題的關鍵.
18.探究：如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結CD，AE，求證：△ACE≌△CBD.
應用：如圖②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延長BA至點D，延長CB至點E，使BE=AD，連結CD，EA，延長EA交CD于點G，求∠CGE的度數(shù).
【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的判定與性質;菱形的性質.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】探究：先判斷出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質可得BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BD，然后利用“邊角邊”證明即可;
應用：連接AC，易知△ABC是等邊三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠E=∠D，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CGE=∠ABC即可.
【解答】解：探究：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠ABC，
∵BE=AD，
∴BE+BC=AD+AB，
即CE=BD，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD(SAS);
應用：如圖，連接AC，易知△ABC是等邊三角形，
由探究可知△ACE≌△CBD，
∴∠E=∠D，
∵∠BAE=∠DAG，
∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，
∴∠CGE=∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴∠CGE=60°.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，菱形的性質，熟記性質并確定出三角形全等的條件是解題的關鍵，(2)作輔助線構造出探究的條件是解題的關鍵.
19.(1)如圖1，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：∠A=∠D.
(2)如圖2，在邊長為1個單位長度的小正方形所組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上.
①sinB的值是 ;
?、诋嫵觥鰽BC關于直線l對稱的△A1B1C1(A與A1，B與B1，C與C1相對應)，連接AA1，BB1，并計算梯形AA1B1B的面積.
【考點】全等三角形的判定與性質;作圖-軸對稱變換;銳角三角函數(shù)的定義.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定與性質，可得答案;
(2)根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案;根據(jù)軸對稱性質，可作軸對稱圖形，根據(jù)梯形的面積公式，可得答案.
【解答】(1)證明：BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF.
即BF=CE.
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE(SAS).
∴∠A=∠D;
(2)解：①∵AC=3，BC=4，
∴AB=5.
sinB= ;
?、谌鐖D所示：
由軸對稱性質得AA1=2，BB1=8，高是4，
∴ = =20.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了等式的性質，全等三角形的判定與性質.
20.在平面內正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M.求證：
(1)BH=DE.
(2)BH⊥DE.
【考點】全等三角形的判定與性質;正方形的性質.
【專題】證明題.
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“邊角邊”證明△BCH和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可;
(2)根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根據(jù)三角形的內角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可.
【解答】證明：(1)在正方形ABCD與正方形CEFH中，
BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，
∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，
即∠BCH=∠DCE，
在△BCH和△DCE中，
，
∴△BCH≌△DCE(SAS)，
∴BH=DE;
(2)∵△BCH≌△DCE，
∴∠CBH=∠CDE，
又∵∠CGB=∠MGD，
∴∠DMB=∠BCD=90°，
∴BH⊥DE.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟記性質并確定出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點.
21.如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E為AD上一點，連接BE，CE.
(1)求證：BE=CE;
(2)以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G.若BC=4，∠EBD=30°，求圖中陰影部分(扇形)的面積.
【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質;扇形面積的計算.
【分析】(1)由點D是線段BC的中點得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判斷△ABC為等邊三角形，于是得到AD為BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質得BE=CE;
(2)由EB=EC，根據(jù)等腰三角形的性質得∠EBC=∠ECB=30°，則根據(jù)三角形內角和定理計算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD= BC=2，∠EBD=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關系得到ED= BD= ，然后根據(jù)扇形的面積公式求解.
【解答】(1)證明：∵點D是線段BC的中點，
∴BD=CD，
∵AB=AC=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AD為BC的垂直平分線，
∴BE=CE;
(2)解：∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=30°，
∴∠BEC=120°，
在Rt△BDE中，BD= BC=2，∠EBD=30°，
∴ED=BD•tan30°= BD= ，
∴陰影部分(扇形)的面積= = π.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.也考查了等邊三角形的判定與性質、相等垂直平分線的性質以及扇形的面積公式.
22.如圖所示，已知∠1=∠2，請你添加一個條件，證明：AB=AC.
(1)你添加的條件是 ∠B=∠C ;
(2)請寫出證明過程.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)此題是一道開放型的題目，答案不唯一，如∠B=∠C或∠ADB=∠ADC等;
(2)根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推出△ABD≌△ACD，再根據(jù)全等三角形的性質得出即可.
【解答】解：(1)添加的條件是∠B=∠C，
故答案為：∠B=∠C;
(2)證明：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB=AC.
【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應角相等，對應邊相等.
23.如圖，在等邊△ABC中，點D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點E，過點C作CF∥AB交直線DN于點F.
(1)當點D在線段BC上，∠NDB為銳角時，如圖①，求證：CF+BE=CD;
(提示：過點F作FM∥BC交射線AB于點M.)
(2)當點D在線段BC的延長線上，∠NDB為銳角時，如圖②;當點D在線段CB的延長線上，∠NDB為鈍角時，如圖③，請分別寫出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關系，不需要證明;
(3)在(2)的條件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4 ，則BE= 8 ，CD= 4或8 .
【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質;含30度角的直角三角形;平行四邊形的判定與性質.
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)通過△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，因為通過證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF，從而證得CF+BE=CD;
(2)作FM∥BC，得出四邊形BCFM是平行四邊形，然后通過證得△MEF≌△CDA即可求得，
(3)根據(jù)△ABC的面積可求得AB=BC=AC=4，所以BD=2AB=8，所以 BE=8，圖②CD=4圖③CD=8，
【解答】(1)證明：如圖①，過點F作FM∥BC交射線AB于點M，
∵CF∥AB，
∴四邊形BMFC是平行四邊形，
∴BC=MF，CF=BM，
∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC，
∴∠EMF=∠ACB，AC=MF，
∵∠ADN=60°，
∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°，
∴∠BDE=∠DAC，
∴∠MFE=∠DAC，
在△MEF與△CDA中，
，
∴△MEF≌△CDA(AAS)，
∴CD=ME=EB+BM，
∴CD=BE+CF.
(2)如圖②，CF+CD=BE，如圖③，CF﹣CD=BE;
(3)∵△ABC是等邊三角形，S△ABC=4 ，
∴易得AB=BC=AC=4，
如圖②，
∵∠ADC=30°，∠ACB=60°，
∴CD=AC=4，
∵∠ADN=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CF∥AB，
∴∠BCF=∠ABC=60°，
∴∠CFD=∠CDF=30°，
∴CD=CF，
由(2)知BE=CF+CD，
∴BE=4+4=8.
如圖③，
∵∠ADC=30°，∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠ADC=30°，
∴BD=BA=4，
∴CD=BD+BC=4+4=8，
∵∠ADN=60°，∠ADC=30°，
∴∠BDE=90°，
又∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=30°，
在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4，
∴BE=2BD=8，
綜上，BE=8，CD=4或8.
【點評】本題考查了等邊三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等.
24.如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點，且AE⊥BF，垂足為點G.
求證：AE=BF.
【考點】全等三角形的判定與性質;正方形的性質.
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)正方形的性質，可得∠ABC與∠C的關系，AB與BC的關系，根據(jù)兩直線垂直，可得∠AGB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形銳角的關系，可得∠ABG與∠BAG的關系，根據(jù)同角的余角相等，可得∠BAG與∠CBF的關系，根據(jù)ASA，可得△ABE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質，可得答案.
【解答】證明：∵正方形ABCD，
∴∠ABC=∠C，AB=BC.
∵AE⊥BF，
∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，
∵∠ABG+∠CBF=90°，
∴∠BAG=∠CBF.
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴AE=BF.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了正方形的性質，直角三角形的性質，余角的性質，全等三角形的判定與性質.
25.如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同側作任意Rt△DBC，∠BDC=90°.
(1)若CD=2BD，M是CD中點(如圖1)，求證：△ADB≌△AMC;
下面是小明的證明過程，請你將它補充完整：
證明：設AB與CD相交于點O，
∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，
∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°.
∵∠DOB=∠AOC，
∴∠DBO=∠① ∠MCA .
∵M是DC的中點，
∴CM= CD=② BD .
又∵AB=AC，
∴△ADB≌△AMC.
(2)若CD
(3)當CD≠BD時，線段AD，BD與CD滿足怎樣的數(shù)量關系?請直接寫出.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形.
【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質和中點的性質就可以的得出結論;
(2)存在.在BD上截取BN=CD，由條件可以得出，△ACD≌△ABN，就有AN=AD，∠DAC=∠NAB，得出∠NAD=90°而得出結論;
(3)當BD>CD時，如圖3，在BD上截取BN=CD，由條件可以得出，△ACD≌△ABN，就有AN=AD，∠DAC=∠NAB，得出△AND是等腰直角三角形，就可以得出ND= AD，就可以得出BD﹣CD= .當BD
【解答】解：(1)由題意，得
?、俑鶕?jù)直角三角形的性質就可以得出∴∠DBO=∠MCA(或∠ACO);
②由等式的性質就可以得出CM=BD;
故答案為：∠MCA，BD;
(2)存在
理由：如圖3，在BD上截取BN=CD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABN=∠ACD.
在△ACD和△ABN中，
，
∴△ACD≌△ABN(SAS)，
∴AN=AD，∠DAC=∠NAB.
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAC+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD為等腰直角三角形;
(3)①當CD
理由：如圖3，在BD上截取BN=CD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABN=∠ACD.
在△ACD和△ABN中，
，
∴△ACD≌△ABN(SAS)，
∴AN=AD，∠DAC=∠NAB.
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAC+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD為等腰直角三角形;
∴ND= AD.
∵ND=BD﹣BN，
∴ND=BD﹣CD，
∴ AD=BD﹣CD
?、诋擟D>BD時， AD=CD﹣BD;
理由：如圖4，在CD上取一點N，使CN=BD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠DOB=∠COA，
∴∠ABD=∠ACD.
在△ACN和△ABD中，
，
∴△ACN≌△ABD(SAS)，
∴AN=AD，∠DAB=∠NAC.
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAB+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD為等腰直角三角形，
∴DN= AD.
∵DN=CD﹣CN，
∴DN=CD﹣BD，
∴ AD=CD﹣BD.
【點評】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，直角三角形的性質的運用，勾股定理的運用，解答時證明三角形全等是關鍵.
26.如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點G.
(1)求證：AE=CF;
(2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形;正方形的性質.
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)利用△AEB≌△CFB來求證AE=CF.
(2)利用角的關系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得結果.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
∴△AEB≌△CFB(SAS)，
∴AE=CF.
(2)解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
又∵BE=BF，
∴∠BEF=∠EFB=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ABE=55°，
∴∠EBG=90°﹣55°=35°，
∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°.
【點評】本題主要考查了正方形，三角形全等判定和性質及等腰三角形，解題的關鍵是求得△AEB≌△CFB，找出相等的線段.
27.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證：BE=CF;
(2)在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.
求證：①ME⊥BC;②DE=DN.
【考點】全等三角形的判定與性質;角平分線的性質;等腰直角三角形.
【專題】證明題;幾何綜合題.
【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可;
(2)①過點E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質求解即可;
?、谇蟪?ang;CAE=∠CEA=67.5°，根據(jù)等角對等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，從而求出∠DAE=∠ECM，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得AD=CD，再利用“角邊角”證明△ADE和△CDN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可.
【解答】證明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF;
(2)①如圖，過點E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC;
?、谟深}意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
， ，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，
∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°，
又∵∠DAE= ×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD= BC，
在△ADE和△CDN中，
，
∴△ADE≌△CDN(ASA)，
∴DE=DN.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質并作輔助線構造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關鍵，難點在于最后一問根據(jù)角的度數(shù)得到相等的角.
28.【問題提出】
學習了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究.
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.
【深入探究】
第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF.
(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF.
(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.
第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ∠B≥∠A ，則△ABC≌△DEF.
【考點】三角形綜合題.
【分析】(1)直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF;
(2)首先得出△CBG≌△FEH(AAS)，則CG=FH，進而得出Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出△ABC≌△DEF;
(3)利用已知圖形再做一個鈍角三角形即可得出答案;
(4)利用(3)中方法可得出當∠B≥∠A時，則△ABC≌△DEF.
【解答】(1)解：如圖①，
∵∠B=∠E=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
故答案為：HL;
(2)證明：如圖②，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，
∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH(AAS)，
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(AAS);
(3)解：如圖③中，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，
△DEF和△ABC不全等;
(4)解：由圖③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD，
∴∠A>∠B，
∴當∠B≥∠A時，△ABC就唯一確定了，
則△ABC≌△DEF.
故答案為：∠B≥∠A.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，應用與設計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，閱讀量較大，審題要認真仔細.
29.問題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點.且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系.
小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是 EF=BE+DF ;
探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF= ∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由;
實際應用：
如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離.
【考點】三角形綜合題.
【分析】問題背景：延長FD到點G.使DG=BE.連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題;
探索延伸：延長FD到點G.使DG=BE.連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題;
實際應用：連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后與(2)同理可證.
【解答】解：問題背景：EF=BE+DF，證明如下：
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF;
故答案為 EF=BE+DF.
探索延伸：結論EF=BE+DF仍然成立;
理由：延長FD到點G.使DG=BE.連結AG，如圖②，
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF;
實際應用：如圖3，
連接EF，延長AE、BF相交于點C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的條件，
∴結論EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×(60+80)=210海里.
答：此時兩艦艇之間的距離是210海里.
【點評】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形對應邊相等的性質，實際問題的轉化，本題中求證△AEF≌△AGF是解題的關鍵.
30.(2014•張家界)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF.
(1)證明：△CBF≌△CDF;
(2)若AC=2 ，BD=2，求四邊形ABCD的周長;
(3)請你添加一個條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明.
【考點】全等三角形的判定與性質;勾股定理;菱形的判定與性質.
【專題】幾何綜合題;開放型.
【分析】(1)首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可證明△CBF≌△CDF.
(2)由△ABC≌△ADC可知，△ABC與△ADC是軸對稱圖形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因為OC=OA，所以AC與BD互相垂直平分，即可證得四邊形ABCD是菱形，然后根據(jù)勾股定理全等AB長，進而求得四邊形的面積.
(3)首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD.
【解答】(1)證明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BCA=∠DCA，
在△CBF和△CDF中，
，
∴△CBF≌△CDF(SAS)，
(2)解：∵△ABC≌△ADC，
∴△ABC和△ADC是軸對稱圖形，
∴OB=OD，BD⊥AC，
∵OA=OC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AC=2 ，BD=2，
∴OA= ，OB=1，
∴AB= = =2，
∴四邊形ABCD的周長=4AB=4×2=8.
(3)當EB⊥CD時，即E為過B且和CD垂直時垂線的垂足，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，
∵△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，
∴∠EFD=∠BAD.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及菱形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.
看了“8年級數(shù)學上冊12.2三角形全等的判定單元測試題”的人還看了：