滬教版八年級上冊數(shù)學(xué)期末試卷(2)
解得：x=2，
把x=2代入(2﹣k)x=2得：k=1.
故答案為：1.
【點評】本題考查了對分式方程的增根的理解和運用，把分式方程變成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于0，則此數(shù)是分式方程的增根，即不是分式方程的根，題目比較典型，是一道比較好的題目.
三、填空題(共63分)
20.計算.
(1)(﹣ )﹣2﹣(﹣ )2012×(1.5)2013+20140
(2)分解因式：x﹣2xy+xy2.
【考點】實數(shù)的運算;提公因式法與公式法的綜合運用;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
【分析】(1)分別根據(jù)0指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算法則分別計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進(jìn)行計算即可;
(2)先提取公因式，字啊根據(jù)完全平方公式進(jìn)行分解即可.
【解答】解：(1)原式=4﹣1.5+1
=3.5;
(2)原式=x(1﹣2y+y2)
=x(1﹣y)2.
【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵.
21.解方程： .
【考點】解分式方程.
【專題】計算題.
【分析】先去分母把分式方程化為整式方程，求出整式方程中x的值，代入公分母進(jìn)行檢驗即可.
【解答】解：方程兩邊同時乘以2(3x﹣1)，得4﹣2(3x﹣1)=3，
化簡，﹣6x=﹣3，解得x= .
檢驗：x= 時，2(3x﹣1)=2×(3× ﹣1)≠0
所以，x= 是原方程的解.
【點評】本題考查的是解分式方程.在解答此類題目時要注意驗根，這是此類題目易忽略的地方.
22.先化簡，再求值： ，其中x=3.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】首先將括號里面通分，進(jìn)而因式分解化簡求出即可.
【解答】解： ，
=[ + ]×
= ×
= ，
當(dāng)x=3時，原式=2.
【點評】此題主要考查了分式的化簡求值，正確因式分解得出是解題關(guān)鍵.
23.在邊長為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中建立如圖片所示的平面直角坐標(biāo)系，已知格點三角形ABC(三角形的三個頂點都在小正方形上)
(1)畫出△ABC關(guān)于直線l：x=﹣1的對稱三角形△A1B1C1;并寫出A1、B1、C1的坐標(biāo).
(2)在直線x=﹣l上找一點D，使BD+CD最小，滿足條件的D點為 (﹣1，1) .
提示：直線x=﹣l是過點(﹣1，0)且垂直于x軸的直線.
【考點】作圖-軸對稱變換;軸對稱-最短路線問題.
【分析】(1)分別作出點A、B、C關(guān)于直線l：x=﹣1的對稱的點，然后順次連接，并寫出A1、B1、C1的坐標(biāo);
(2)作出點B關(guān)于x=﹣1對稱的點B1，連接CB1，與x=﹣1的交點即為點D，此時BD+CD最小，寫出點D的坐標(biāo).
【解答】解：(1)所作圖形如圖所示：
A1(3，1)，B1(0，0)，C1(1，3);
(2)作出點B關(guān)于x=﹣1對稱的點B1，
連接CB1，與x=﹣1的交點即為點D，
此時BD+CD最小，
點D坐標(biāo)為(﹣1，1).
故答案為：(﹣1，1).
【點評】本題考查了根據(jù)軸對稱變換作圖，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出對應(yīng)點的位置，并順次連接.
24.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF.求證：AE=AF.
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題;壓軸題.
【分析】方法一：連接CE，由與EF是線段AC的垂直平分線，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)AE=CE可知四邊形AFCE是菱形，故可得出結(jié)論.
方法二：首先證明△AOE≌△COF，可得OE=OF，進(jìn)而得到AC垂直平分EF，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=AF.
【解答】證明：連接CE，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴AE=CE，OA=OC，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
在△AOE與△COF中，
∵ ，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AE=CE，
∴四邊形AFCE是菱形，
∴AE=AF.
另法：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵ ，
∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，
∴OE=OF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF.
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及菱形的判定定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行四邊形是解答此題的關(guān)鍵.
25.閱讀下面材料完成分解因式
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)
=x(x+p)+q(x+p)
=(x+p)(x+q)
這樣，我們得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
利用上式可以將某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式.
例把x2+3x+2分解因式
分析：x2+3x+2中的二次項系數(shù)為1，常數(shù)項2=1×2，一次項系數(shù)3=1+2，這是一個x2+(p+q)x+pq型式子.
解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)
請仿照上面的方法將下列多項式分解因式：
?、賦2+7x+10; ②2y2﹣14y+24.
【考點】因式分解-十字相乘法等.
【專題】閱讀型.
【分析】仿照上述的方法，將原式分解即可.
【解答】解：①x2+7x+10=(x+2)(x+5);
②2y2﹣14y+24=2(y2﹣7y+12)=2(y﹣3)(y﹣4).
【點評】此題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵.
26.問題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點.且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.
小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是 EF=BE+DF ;
探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF= ∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由;
實際應(yīng)用：
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進(jìn).1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題;探究型.
【分析】問題背景：根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等解答;
探索延伸：延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據(jù)同角的補角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=GF，然后求解即可;
實際應(yīng)用：連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后求出∠EOF= ∠AOB，判斷出符合探索延伸的條件，再根據(jù)探索延伸的結(jié)論解答即可.
【解答】解：問題背景：EF=BE+DF;
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.
證明如下：如圖，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF;
實際應(yīng)用：如圖，連接EF，延長AE、BF相交于點C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的條件，
∴結(jié)論EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×(60+80)=210海里.
答：此時兩艦艇之間的距離是210海里.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，讀懂問題背景的求解思路，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.
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