九年級數(shù)學(xué)上冊期末測試卷
九年級數(shù)學(xué)上冊期末測試卷
九年級的期末復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，也是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效的重要因素。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于九年級數(shù)學(xué)上冊期末測試卷，希望會給大家?guī)韼椭?/p>
九年級數(shù)學(xué)上冊期末測試卷：
一、選擇題(本題共10個小題，每小題3分，共30分)
1.汽車標(biāo)志中不是中心對稱形的是( )
【考點】中心對稱形.
【分析】根據(jù)中心對稱形的概念求解.
【解答】解：A、是中心對稱形.故錯誤;
B、不是中心對稱形.故正確;
C、是中心對稱形.故錯誤;
D、是中心對稱形.故錯誤.
故選B.
【點評】本題考查了中心對稱形的概念：中心對稱形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原重合.
2.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可變形為( )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15
【考點】解一元二次方程-配方法.
【專題】計算題.
【分析】方程利用配方法求出解即可.
【解答】解：方程變形得：x2﹣8x=1，
配方得：x2﹣8x+16=17，即(x﹣4)2=17，
故選C
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.
3.下列說法正確的是( )
A.“打開電視任選一頻道，播放動畫片”是必然事件
B.“任意畫出一個正六邊形，它的中心角是60°”是必然事件
C.“旋轉(zhuǎn)前、后的形全等”是隨機事件
D.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次正面朝上的一定是5次
【考點】隨機事件.
【分析】根據(jù)隨機事件以及必然事件的定義即可作出判斷.
【解答】解：A、“打開電視任選一頻道，播放動畫片”是隨機事件，選項錯誤;
B、“任意畫出一個正六邊形，它的中心角是60°”是必然事件，選項正確;
C、“旋轉(zhuǎn)前、后的形全等”是必然事件，選項錯誤;
D、任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次正面朝上的可能是5次，選項錯誤.
故選B.
【點評】本題考查了必然事件、隨機事件、不可能事件的定義，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
4.市煤氣公司計劃在地下修建一個容積為104m3的圓柱形煤氣儲存室，則儲存室的底面積S(單位：m2)與其深度d(單位：m)的函數(shù)象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】反比例函數(shù)的應(yīng)用;反比例函數(shù)的象.
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)儲存室的體積=底面積×高即可列出反比例函數(shù)關(guān)系，從而判定正確的結(jié)論.
【解答】解：由儲存室的體積公式知：104=Sd，
故儲存室的底面積S(m2)與其深度d(m)之間的函數(shù)關(guān)系式為S= (d>0)為反比例函數(shù).
故選：A.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用及反比例函數(shù)的象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的取值范圍確定雙曲線的具體位置，難度不大.
5.已知PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠P=40°，則∠BAC的度數(shù)是( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
【考點】切線的性質(zhì);圓周角定理.
【專題】壓軸題.
【分析】連接BC，OB，根據(jù)圓周角定理先求出∠C，再求∠BAC.
【解答】解：連接BC，OB，
AC是直徑，則∠ABC=90°，
PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，則∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=140°，
由圓周角定理知，∠C= ∠AOB=70°，
∴∠BAC=90°﹣∠C=20°.
故選B.
【點評】本題利用了直徑對的圓周角是直角，切線的概念，圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理求解.
6.點A為∠α邊上的任意一點，作AC⊥BC于點C，CD⊥AB于點D，下列用線段比表示cosα的值，錯誤的是( )
A. B. C. D.
【考點】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】利用垂直的定義以及互余的定義得出∠α=∠ACD，進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案.
【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，
∴∠α=∠ACD，
∴cosα=cos∠ACD= = = ，
只有選項C錯誤，符合題意.
故選：C.
【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，得出∠α=∠ACD是解題關(guān)鍵.
7.A，B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了A，B間的距離：先在AB外選一點C，然后測出AC，BC的中點M，N，并測量出MN的長為12m，由此他就知道了A，B間的距離，有關(guān)他這次探究活動的描述錯誤的是( )
A.MN∥AB
B.AB=24m
C.△CMN∽△CAB
D.△CMN與四邊形ABMN的面積之比為1：2
【考點】三角形中位線定理.
【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MN∥AB，MN= AB，再根據(jù)相似三角形的判定解答即可.
【解答】解：∵M、N分別是AC，BC的中點，
∴MN∥AB，MN= AB，
∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，
∵M是AC的中點，
∴CM=MA，
∴CM：CA=1：2，
∴△CMN與△ACB的面積之比為1：4，
即△CMN與四邊形ABMN的面積之比為1：3，
故描述錯誤的是D選項.
故選：D.
【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，相似三角形的判定，熟記定理并準(zhǔn)確識是解題的關(guān)鍵.
8.教師節(jié)期間，某校數(shù)學(xué)組教師向本組其他教師各發(fā)一條祝福短信.據(jù)統(tǒng)計，全組共發(fā)了240條祝福短信，如果設(shè)全組共有x名教師，依題意，可列出的方程是( )
A.x(x+1)=240 B.x(x﹣1)=240 C.2x(x+1)=240 D. x(x+1)=240
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】每個老師都要向除自己之外的老師發(fā)一條短信，讓人數(shù)乘以每個老師所發(fā)短信條數(shù)等于短信總條數(shù)即為所求方程.
【解答】解：∵全組共有x名教師，每個老師都要發(fā)(x﹣1)條短信，共發(fā)了240條短信.
∴x(x﹣1)=240.
故選B.
【點評】考查列一元二次方程;得到短信總條數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
9.已知兩點A(5，6)，B(7，2)，先將線段AB向左平移一個單位，再以原點O為位似中心，將其縮小為原來的 得到線段CD，則點A的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為( )
A.(2，3) B.(﹣2，﹣3) C.(2，3)或(﹣2，﹣3) D.(3，3)或(﹣3，﹣3)
【考點】位似變換;坐標(biāo)與形性質(zhì).
【分析】首先得出A點平移后點的坐標(biāo)，再利用位似形的性質(zhì)得出對應(yīng)點C的坐標(biāo).
【解答】解：所示：可得A點平移后對應(yīng)點A′坐標(biāo)為：(4，6)，
則點A′的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為：(2，3)或(﹣2，﹣3).
【點評】此題主要考查了位似變換，根據(jù)題意得出對應(yīng)點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.
10.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的象所示，頂點為(﹣1，0)，下列結(jié)論：①abc>0;②b2﹣4ac=0;③a>2;④方程ax2+bc+c=﹣2的根為x1=x2=﹣1;⑤若點B(﹣ ，y1)，C(﹣ ，y2)為函數(shù)象上的兩點，則y2
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點】二次函數(shù)象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】①首先根據(jù)拋物線開口向上，可得a>0;然后根據(jù)對稱軸在y軸左邊，可得b>0;最后根據(jù)拋物線與y軸的交點在x軸的上方，可得c>0，據(jù)此判斷出abc>0即可.
?、诟鶕?jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的象與x軸只有一個交點，可得△=0，即b2﹣4a(c+2)=0，b2﹣4ac=8a>0，據(jù)此解答即可.
③首先根據(jù)對稱軸x=﹣ =﹣1，可得b=2a，然后根據(jù)b2﹣4ac=8a，確定出a的取值范圍即可.
④根據(jù)頂點為(﹣1，0)，可得方程ax2+bc+c=﹣2的有兩個相等實根，
⑤根據(jù)點BC在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大來判斷即可.
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a>0，
∵對稱軸在y軸左邊，
∴b>0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，
∴c+2>2，
∴c>0，
∴abc>0，
∴結(jié)論①正確;
∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的象與x軸只有一個交點，
∴△=0，
即b2﹣4a(c+2)=0，
∴b2﹣4ac=8a>0，
∴結(jié)論②不正確;
∵對稱軸x=﹣ =﹣1，
∴b=2a，
∵b2﹣4ac=8a，
∴4a2﹣4ac=8a，
∴a=c+2，
∵c>0，
∴a>2，
∴結(jié)論③正確;
∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的頂點為(﹣1，0)，
∴方程ax2+bx+c+2=0的根為x1=x2=﹣1;
∴結(jié)論④正確;
∵x>﹣1，y隨x的增大而增大，
∴y1>y2，
∴結(jié)論⑤正確.
綜上，可得正確結(jié)論的個數(shù)是2個：①③④⑤.
故選C.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a>0時，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時，拋物線向下開口;②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右.(簡稱：左同右異)③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點. 拋物線與y軸交于(0，c).
二、填空題(本題有6小題，每小題3分，共18分)
11.若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是 k≤1且k≠0 .
【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】若一元二次方程有兩不等實數(shù)根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍.還要注意二次項系數(shù)不為0.
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有兩個實數(shù)根，
∴根的判別式△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，且k≠0.
即k≤1且k≠0.
故答案是：k≤1且k≠0.
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件.
12.在一個不透明的袋子中有10個除顏色外均相同的小球，通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的概率約為30%，估計袋中白球有 3 個.
【考點】利用頻率估計概率.
【分析】根據(jù)摸到白球的概率公式 =40%，列出方程求解即可.
【解答】解：不透明的布袋中的小球除顏色不同外，其余均相同，共有10個小球，其中白色小球x個，
根據(jù)古典型概率公式知：P(白色小球)= =30%，
解得：x=3.
故答案為：3.
【點評】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，一般方法為：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)= .
13.水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1m，其中水面的寬AB為0.8m，則排水管內(nèi)水的深度為 0.8 m.
【考點】垂徑定理的應(yīng)用;勾股定理.
【分析】過O點作OC⊥AB，C為垂足，交⊙O于D，連OA，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=0.5m，再在Rt△AOC中，利用勾股定理可求出OC，即可得到CD的值，即水的深度.
【解答】解：過O點作OC⊥AB，C為垂足，交⊙O于D、E，連OA，
OA=0.5m，AB=0.8m，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=0.4m，
在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，
∴OC=0.3m，
則CE=0.3+0.5=0.8m，
故答案為：0.8.
【點評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的運用.
14.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2﹣4先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線解析式為 y=(x﹣2)2﹣1 .
【考點】二次函數(shù)象與幾何變換.
【分析】先確定拋物線y=x2﹣4的頂點坐標(biāo)為(0，﹣4)，再根據(jù)點平移的規(guī)律點(0，﹣4)平移后得到點的坐標(biāo)為(2，﹣1)，然后根據(jù)頂點式寫出平移后拋物線的解析式.
【解答】解：拋物線y=x2﹣4的頂點坐標(biāo)為(0，﹣4)，把點(0，﹣4)先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到點的坐標(biāo)為(2，﹣1)，所以平移后的拋物線解析式為y=(x﹣2)2﹣1.
故答案為y=(x﹣2)2﹣1.
【點評】本題考查了二次函數(shù)象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式;二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.
15.用一個圓心角為120°，半徑為4的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面圓的半徑為 .
【考點】弧長的計算.
【分析】利用底面周長=展開的弧長可得.
【解答】解： ，解得r= .
故答案為： .
【點評】解答本題的關(guān)鍵是有確定底面周長=展開的弧長這個等量關(guān)系，然后由扇形的弧長公式和圓的周長公式求值.
16.四邊形OABC是矩形，ADEF是正方形，點A，D在x軸的正半軸，點C在y軸的正半軸上，點F再AB上，點B，E在反比例函數(shù)y= 的象上，OA=2，OC=6，則正方形ADEF的邊長為 ﹣1 .
【考點】反比例函數(shù)象上點的坐標(biāo)特征.
【分析】先確定B點坐標(biāo)(2，6)，根據(jù)反比例函數(shù)象上點的坐標(biāo)特征得到k=12，則反比例函數(shù)解析式為y= ，設(shè)AD=t，則OD=2+t，所以E點坐標(biāo)為(2+t，t)，再根據(jù)反比例函數(shù)象上點的坐標(biāo)特征得(2+t)•t=12，利用因式分解法可求出t的值.
【解答】解：∵OA=2，OC=6，
∴B點坐標(biāo)為(2，6)，
∴k=2×6=12，
∴反比例函數(shù)解析式為y= ，
設(shè)AD=t，則OD=2+t，
∴E點坐標(biāo)為(2+t，t)，
∴(2+t)•t=12，
整理為t2+2t﹣12=0，
解得t1=﹣1+ (舍去)，t2=﹣1﹣ ，
∴正方形ADEF的邊長為 ﹣1.
故答案為： ﹣1.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y= (k為常數(shù)，k≠0)的象是雙曲線，象上的點(x，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k.
三、解答題(共9小題，滿分72分)
17.(1)解方程：2x2+x﹣15=0
(2)計算：sin30°﹣ sin45°+tan60°﹣cos30°+20160.
【考點】解一元二次方程-因式分解法;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】(1)先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)先把各個角的函數(shù)值代入，再求出即可.
【解答】解：(1)2x2+x﹣15=0，
(2x﹣5)(x+3)=0，
2x﹣5=0，x+3=0，
x1= ，x2=﹣3;
(2)原式= ﹣ × + ﹣ +1
= .
【點評】本題考查了解一元二次方程和特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，能熟記解一元二次方程的解題思路和熟記特殊角的三角函數(shù)值是解此題的關(guān)鍵.
18.△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(2，4)，B (1，1)，C(4，3).
(1)請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A1BC1;
(2)求出(1)中點C旋轉(zhuǎn)到C1所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留π)
【考點】作-旋轉(zhuǎn)變換;弧長的計算.
【專題】計算題;作題.
【分析】(1)利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點A、C的對應(yīng)點A1、C1即可得到△A1BC1;
(2)由于點C旋轉(zhuǎn)到C1所經(jīng)過的路徑為以B為圓心，BC為半徑，圓心角為90度的弧，所以利用弧長公式可計算出點C旋轉(zhuǎn)到C1所經(jīng)過的路徑長.
【解答】解：(1)△A1BC1為所作;
(2)BC= = ，
所以點C旋轉(zhuǎn)到C1所經(jīng)過的路徑長= = π.
【點評】本題考查了作﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的形.
19.在“陽光體育”活動時間，九年級A，B，C，D四位同學(xué)進行一次羽毛球單打比賽，要從中選出兩位同學(xué)打一場比賽，用畫樹狀或列表的方法，求恰好選中A，C兩位同學(xué)進行比賽的概率.
【考點】列表法與樹狀法.
【專題】計算題.
【分析】先畫樹狀展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出選中A，C兩位同學(xué)進行比賽的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解：畫樹狀為：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中選中A，C兩位同學(xué)進行比賽的結(jié)果數(shù)為2，
所以選中A，C兩位同學(xué)進行比賽的概率= = .
【點評】本題考查了列表法與樹狀法：利用列表法和樹狀法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率.
20.小明坐于堤邊垂釣，河堤AC的坡角為30°，AC長2 ，釣竿AO的傾斜角∠ODC是60°，其長OA為5米，若AO與釣魚線OB的夾角為60°，求浮漂B與河堤下端C之間的距離.
【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解Rt△ACD，得出AD=AC•tan∠ACD=2米，CD=2AD=3米，再證明△BOD是等邊三角形，得到BD=OD=OA+AD=7米，然后根據(jù)BC=BD﹣CD即可求出浮漂B與河堤下端C之間的距離.
【解答】解：∵AO的傾斜角是60°，
∴∠ODB=60°.
∵∠ACD=30°，
∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°.
在Rt△ACD中，AD=AC•tan∠ACD=2 × =2(米)，
∴CD=2AD=4米，
又∵∠O=60°，
∴△BOD是等邊三角形，
∴BD=OD=OA+AD=2+5=7(米)，
∴BC=BD﹣CD=7﹣4=3(米).
答：浮漂B與河堤下端C之間的距離為3米.
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的傾斜角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解.
21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=3x+1的象與y軸交于點A，與反比例函數(shù)y= 在第一象限內(nèi)的象交于點B，且點B的橫坐標(biāo)為1，過點A作AC⊥y軸交反比例函數(shù)y= (k≠0)的象于點C，連接BC.
(1)求反比例函數(shù)的表達式及△ABC的面積;
(2)直接寫出當(dāng)x<1時，y= (k≠0)中y的取值范圍.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)先由一次函數(shù)y=3x+1的象過點B，且點B的橫坐標(biāo)為1，將x=1代入y=3x+1，求出y的值，得到點B的坐標(biāo)，再將B點坐標(biāo)代入y= ，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達式;根據(jù)一次函數(shù)y=3x+1的象與y軸交于點A，求出點A的坐標(biāo)為(0，1)，再將y=1代入y= ，求出x的值，那么AC=4.過B作BD⊥AC于D，則BD=yB﹣yC=4﹣1=3，然后根據(jù)S△ABC= AC•BD，將數(shù)值代入計算即可求解;
(2)根據(jù)x<1時，得到 ，于是得到y(tǒng)的取值范圍.
【解答】解：(1)∵一次函數(shù)y=3x+1的象過點B，且點B的橫坐標(biāo)為1，
∴y=3×1+1=4，
∴點B的坐標(biāo)為(1，4).
∵點B在反比例函數(shù)y= 的象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函數(shù)的表達式為y= ，
∵一次函數(shù)y=3x+1的象與y軸交于點A，
∴當(dāng)x=0時，y=1，
∴點A的坐標(biāo)為(0，1)，
∵AC⊥y軸，
∴點C的縱坐標(biāo)與點A的縱坐標(biāo)相同，是1，
∵點C在反比例函數(shù)y= 的象上，
∴當(dāng)y=1時，1= ，解得x=4，
∴AC=4.
過B作BD⊥AC于D，則BD=yB﹣yC=4﹣1=3，
∴S△ABC= AC•BD= ×4×3=6;
(2)由形得：∵當(dāng)0
∴y>4，
當(dāng)x<0時，y<0.
【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)象上點的坐標(biāo)特征，平行于y軸的直線上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，難度適中.求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.
22.在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB，分別交于點D、E，且∠CBD=∠A;
(1)判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;
(2)若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的長.
【考點】直線與圓的位置關(guān)系;直角三角形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)結(jié)論：BD是圓的切線，已知此線過圓O上點D，連接圓心O和點D(即為半徑)，再證垂直即可;
(2)通過作輔助線，根據(jù)已知條件求出∠CBD的度數(shù)，在Rt△BCD中求解即可.
【解答】解：(1)直線BD與⊙O相切.
證明：連接OD.
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直線BD與⊙O相切.
(2)解法一：連接DE.
∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°
∵AD：AO=6：5
∴cosA=AD：AE=3：5
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
cos∠CBD=BC：BD=3：5
∵BC=2，BD= ;
解法二：過點O作OH⊥AD于點H.
∴AH=DH= AD
∵AD：AO=6：5
∴cosA=AH：AO=3：5
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
∴cos∠CBD=BC：BD=3：5，
∵BC=2，
∴BD= .
【點評】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì).
23.神農(nóng)嘗百草，泡泡青菜便是其中之一，小隨同學(xué)利用假期開網(wǎng)店批發(fā)出售泡泡青菜，他打出促銷廣告：最優(yōu)質(zhì)泡泡青菜35箱，每箱售價30元，若一次性購買不超過10箱時，售價不變;若一次性購買超過10箱時，沒多買1箱，所買的每箱泡泡青菜的售價均降低0.3元.已知該青菜成本是每箱20元，若不計其他費用，設(shè)顧客一次性購買泡泡青菜x(x為整數(shù))箱時，該網(wǎng)店從中獲利y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;
(2)顧客一次性購買多少箱時，該網(wǎng)店從中獲利最多，最多是多少?
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)題意可得出銷量乘以每臺利潤進而得出總利潤，進而得出答案;
(2)根據(jù)銷量乘以每臺利潤進而得出總利潤，即可求出即可.
【解答】解：(1)y= ，
(2)在0≤x≤10時，y=10x，當(dāng)x=10時，y有最大值100;
在10
當(dāng)x=21 時，y取得最大值，
∵x為整數(shù)，根據(jù)拋物線的對稱性得x=22時，y有最大值140.8.
∵140.8>100，
∴顧客一次購買22箱時，該網(wǎng)站從中獲利最多，最多是140.8元.
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出y與x的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.
24.E是四邊形ABCD的邊AB上一點.
(1)猜想論證：，分別連接DE、CE，若∠A=∠B=∠DEC=65°，試猜想中哪兩個三角形相似，并說明理由.
(2)觀察作：‚，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上，試在‚中矩形ABCD的邊AB上畫出所有滿足條件的點E(點E與點A，B 不重合)，分別連結(jié)ED，EC，使四邊形ABCD被分成的三個三角形相似(不證明).
(3)拓展探究：ƒ，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若點E恰好將四邊形ABCM分成的三個三角形相似，請直接寫出 的值.
【考點】相似形綜合題.
【專題】綜合題;形的相似.
【分析】(1)△ADE∽△BEC，理由為：利用三角形內(nèi)角和定理及鄰補角定義得到一對角相等，再由已知角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證;
(2)②a與②b所示，點E為所求的點;
(3)由點E恰好將四邊形ABCM分成的三個三角形相似，利用相似三角形對應(yīng)角相等得到三個角相等，再由折疊的性質(zhì)得到∠DCM=∠MCE=∠BCE=30°，EC=CD=AB，在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求式子比值即可.
【解答】解：(1)△ADE∽△BEC，理由為：
∵∠A=65°，
∴∠ADE+∠DEA=115°，
∵∠DEC=65°，
∴∠BEC+∠DEA=115°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC;
(2)作如下：
(3)∵點E恰好將四邊形ABCM分成的三個三角形相似，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，
∴DC=CE=AB，
在Rt△BCE中，cos∠BCE= =cos30°，
【點評】此題屬于相似型綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
25.已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A (1，0)、B(0，3)及C(3，0)點，動點D從原點O開始沿OB方向以每秒1個單位長度移動，動點E從點C開始沿CO方向以每秒1個長度單位移動，動點D、E同時出發(fā)，當(dāng)動點E到達原點O時，點D、E停止運動.
(1)求拋物線的解析式及頂點P的坐標(biāo);
(2)若F(﹣1，0)，求△DEF的面積S與E點運動時間t的函數(shù)解析式;當(dāng)t為何值時，△DEF的面積最大?最大面積是多少?
(3)當(dāng)△DEF的面積最大時，拋物線的對稱軸上是否存在一點N，使△EBN是直角三角形?若存在，求出N點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標(biāo);
(2)根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案;
(3)根據(jù)勾股定理的逆定理，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得N點坐標(biāo).
【解答】解：(1)將A (1，0)、B(0，3)及C(3，0)代入函數(shù)解析式，得
解得 ，
拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3，
配方，得y=(x﹣2)2﹣1，頂點P的坐標(biāo)為(2，﹣1);
(2)1 ，
由題意，得
CE=t，OE=3﹣t，F(xiàn)E=4﹣t，OD=t.
S= FE•OD= (4﹣t)t=﹣ t2+2t=﹣ (t﹣2)2+2，
當(dāng)t=2時，S最大=2;
(3)當(dāng)△DEF的面積最大時，E(1，0)，設(shè)N(2，a)，
BN2=4+(a﹣3)2，EN2=1+a2，BE2=1+9=10，
?、佼?dāng)BN2+EN2=BE2時，4+9﹣6a+a2+a2+1=10，化簡，得
a2﹣3a+2=0，解得a=2，a=1，N(2，2)，N(2，1);
?、诋?dāng)BN2+BE2=EN2時，4+9﹣6a+a2+10=1+a2，化簡，得
6a=22，解得a= ，N(2， );
?、郛?dāng)BE2+EN2=BN2時，1+a2+10=4+9﹣6a+a2，
化簡，得
6a=2，解得a= ，N(2， )，
綜上所述：N點的坐標(biāo)(2，2)，(2，1)，(2， )，(2， ).
【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式;利用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值;利用勾股定理的逆定理得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏.
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