九年級數(shù)學上學期期末試卷題
在數(shù)學的學習時候只要我們找到方法很快就可以學習會了，今天小編就給大家來分享一下九年級數(shù)學，僅供借鑒
九年級數(shù)學上期末試卷參考
一、選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分。每小題只有一個正確選項，請將這個正確的選項填在下面的表格中)
1.如圖所示的幾何體的俯視圖是( )
A. B.
C. D.
2.一元二次方程x2+4x=5配方后可變形為( )
A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=9 C.(x﹣2)2=9 D.(x﹣2)2=21
3.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示，則I與R的函數(shù)表達式為( )
A.I= B.I= C.I= D.I=
4.如圖，某班上體育課，甲、乙兩名同學分別站在C、D的位置時，乙的影子DA恰好與甲影子CA在同一條直線上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影長是6米，則甲、乙兩同學相距( )米.
A.1 B.2 C.3 D.5
5.一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=，其中ab<0，a、b為常數(shù)，它們在同一坐標系中的圖象可以是( )
A. B.
C. D.
6.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中點，BE交AC于點F，DF的長為( )
A. B. C. D.
二、填空題(每小題3分，共18分)
7.若關于x的方程x2+3x+k=0的一個根是1，則k的值為 .
8.某幾何體的三視圖如圖所示，則組成該幾何體的小正方體的個數(shù)是 .
9.某種商品的標價為400元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同，則該商品每次降價的百分率為 .
10.關于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有實數(shù)根，則a滿足 .
11.如圖，反比例函數(shù)y=(k≠0，x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC的對角線AC的中點D，若矩形OABC的面積32，則k的值為 .
12.如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E為BC中點，F(xiàn)是AB上一點，G為AD上一點，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于點H，下列結論正確的是 .(填序號即可)
?、佟鰾EF∽△CHE
②AG=1
?、跡H=
?、躍△BEF=3S△AGH
三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共計30分)
13.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0.
14.如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB的中點，AE∥CD，AC∥ED，求證：四邊形ACDE是菱形.
15.如圖，在矩形ABCD中，M是BC中點，請你僅用無刻度直尺按要求作圖.
(1)在圖1中，作AD的中點P;
(2)在圖2中，作AB的中點Q.
16.已知關于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0.
(1)求證：無論k取何值，原方程總有實數(shù)根;
(2)若原方程的兩實根都小于4，且k為正整數(shù)，直接寫出k的值.
17.小樂放學回家看到桌上有一盤包子，其中有豆沙包、肉包各1個，蘿卜包2個，這些包子除餡外無其他差別.
(1)小樂隨機地從盤子中取出一個包子，取出的是肉包的概率是多少?
(2)請用樹狀圖或表格表示小樂隨機地從盤中取出兩個包子的所有可能結果，并求取出的兩個包子都是蘿卜包的概率.
四、解答題(本大題共3小題，每小題8分，共24分)
18.如圖，鄭明同學站在A處，測得他在路燈OC下影子AP的長與他的身高相等，都為1.5m，他向路燈方向走1m到B處時發(fā)現(xiàn)影子剛好落在A點.
(1)請在圖中畫出形成影子的光線，并確定光源O的位置;
(2)求路燈OC的高.
19.如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(2，2)，B(3，0)，C(1，﹣1)，AC交x軸于點P.
(1)∠ACB的度數(shù)為 ;
(2)P點坐標為 ;
(3)以點O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，請在圖中畫出所有符合條件的三角形.
20.某工廠設計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進行試銷，經(jīng)過調查，得到如下數(shù)據(jù)：
銷售單價x(元∕件) … 30 40 50 60 …
每天銷售量y(件) … 500 400 300 200 …
(1)研究發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y與單價x滿足一次函數(shù)關系，求出y與x的關系式;
(2)當?shù)匚飪r部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元?
五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)
21.如圖，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF=BE，AF與BE交于點G，∠AGB=60°.
(1)求證：AF=DE;
(2)若AB=6，BC=8，求AF.
22.如圖，已知一次函數(shù)y=x﹣3與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點A(4，n)，與x軸相交于點B.
(1)填空：n的值為 ，k的值為 ;
(2)以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，求點D的坐標;
(3)觀察反比例函數(shù)y=的圖象，當y≥﹣3時，請直接寫出自變量x的取值范圍.
六、解答題(本大題共12分)
23.閱讀下列材料，并按要求解答.
【模型介紹】
如圖①，C是線段A、B上一點E、F在AB同側，且∠A=∠B=∠ECF=90°，看上去像一個“K“，我們稱圖①為“K”型圖.
【性質探究】
性質1：如圖①，若EC=FC，△ACE≌△BFC
性質2：如圖①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不為1.
【模型應用】
應用1：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AD=1，CD=2，BC=2，AB=5.求BD.
應用2：如圖③，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，連接EF.交AH的反向延長線于點K，證明：K為EF中點.
(1)請你完成性質1的證明過程;
(2)請分別解答應用1，應用2提出的問題.
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共6小題，每小題3分，共18分。每小題只有一個正確選項，請將這個正確的選項填在下面的表格中)
1.如圖所示的幾何體的俯視圖是( )
A. B.
C. D.
【分析】根據(jù)俯視圖的作法即可得出結論.
【解答】解：從上往下看該幾何體的俯視圖是D.
故選：D.
【點評】本題考查的是簡單幾何體的三視圖，熟知俯視圖的作法是解答此題的關鍵.
2.一元二次方程x2+4x=5配方后可變形為( )
A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=9 C.(x﹣2)2=9 D.(x﹣2)2=21
【分析】兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方可得.
【解答】解：∵x2+4x=5，
∴x2+4x+4=5+4，即(x+2)2=9，
故選：B.
【點評】本題主要考查解一元二次方程的基本技能，熟練掌握解一元二次方程的常用方法和根據(jù)不同方程靈活選擇方法是解題的關鍵.
3.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示，則I與R的函數(shù)表達式為( )
A.I= B.I= C.I= D.I=
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為I=，再把(6，2)代入可得k的值，進而可得函數(shù)解析式.
【解答】解：設用電阻R表示電流I的函數(shù)解析式為I=，
∵過(6，2)，
∴k=6×2=12，
∴I=，
故選：A.
【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，關鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式.
4.如圖，某班上體育課，甲、乙兩名同學分別站在C、D的位置時，乙的影子DA恰好與甲影子CA在同一條直線上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影長是6米，則甲、乙兩同學相距( )米.
A.1 B.2 C.3 D.5
【分析】根據(jù)甲的身高與影長構成的三角形與乙的身高和影長構成的三角形相似，列出比例式解答.
【解答】解：設兩個同學相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
解得：x=1.
故選：A.
【點評】本題考查了相似三角形的應用，根據(jù)身高與影長的比例不變，得出三角形相似，運用相似比即可解答.
5.一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=，其中ab<0，a、b為常數(shù)，它們在同一坐標系中的圖象可以是( )
A. B.
C. D.
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的位置確定a、b的大小，看是否符合ab<0，計算a﹣b確定符號，確定雙曲線的位置.
【解答】解：A、由一次函數(shù)圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負半軸，則b<0，
滿足ab<0，
∴a﹣b>0，
∴反比例函數(shù)y=的圖象過一、三象限，
所以此選項不正確;
B、由一次函數(shù)圖象過二、四象限，得a<0，交y軸正半軸，則b>0，
滿足ab<0，
∴a﹣b<0，
∴反比例函數(shù)y=的圖象過二、四象限，
所以此選項不正確;
C、由一次函數(shù)圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負半軸，則b<0，
滿足ab<0，
∴a﹣b>0，
∴反比例函數(shù)y=的圖象過一、三象限，
所以此選項正確;
D、由一次函數(shù)圖象過二、四象限，得a<0，交y軸負半軸，則b<0，
滿足ab>0，與已知相矛盾
所以此選項不正確;
故選：C.
【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，熟練掌握兩個函數(shù)的圖象的性質是關鍵.
6.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中點，BE交AC于點F，DF的長為( )
A. B. C. D.
【分析】先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE=，再證明△AFE∽△CFB，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出BF=BE=，然后證明△ADF≌△ABF，即可得出DF=BF=.
【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中點，
∴∠BAE=90°，AE=AD=AB=1，
∴BE==.
∵AE∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴==，
∴BF=2EF，
∵BF+EF=BE，
∴BF=BE=.
在△ADF與△ABF中，
，
∴△ADF≌△ABF，
∴DF=BF=.
故選：C.
【點評】本題考查了正方形的性質，相似三角形、全等三角形的判定與性質，勾股定理，求出BF=BE=是解題的關鍵.
二、填空題(每小題3分，共18分)
7.若關于x的方程x2+3x+k=0的一個根是1，則k的值為 ﹣4 .
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立.把x=1代入原方程就可以得到一個關于k的方程，解這個方程即可求出k的值.
【解答】解：把x=1代入方程x2+3x+k=0得到1+3+k=0，解得k=﹣4.
故本題答案為k=﹣4.
【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義.
8.某幾何體的三視圖如圖所示，則組成該幾何體的小正方體的個數(shù)是 5 .
【分析】根據(jù)三視圖，該幾何體的主視圖以及俯視圖可確定該幾何體共有兩行3列，故可得出該幾何體的小正方體的個數(shù).
【解答】解：綜合三視圖，我們可得出，這個幾何體的底層應該有4個小正方體，第二層應該有1個小正方體，
因此搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)為4+1=5個;
故答案為：5.
【點評】本題考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查.如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案.
9.某種商品的標價為400元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同，則該商品每次降價的百分率為 10% .
【分析】設該商品每次降價的百分率為x，根據(jù)該商品的標價及經(jīng)過兩次降價后的價格，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其中小于1的值即可得出結論.
【解答】解：設該商品每次降價的百分率為x，
根據(jù)題意得：400(1﹣x)2=324，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合題意，舍去).
答：該商品每次降價的百分率為10%.
故答案為：10%.
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.
10.關于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有實數(shù)根，則a滿足 a≥1 .
【分析】由于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有實數(shù)根，那么分兩種情況：(1)當a﹣5=0時，方程一定有實數(shù)根;(2)當a﹣5≠0時，方程成為一元二次方程，利用判別式即可求出a的取值范圍.
【解答】解：(1)當a﹣5=0即a=5時，方程變?yōu)椹?x﹣1=0，此時方程一定有實數(shù)根;
(2)當a﹣5≠0即a≠5時，
∵關于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有實數(shù)根
∴16+4(a﹣5)≥0，
∴a≥1.
所以a的取值范圍為a≥1.
故答案為：a≥1.
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用.切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件.
11.如圖，反比例函數(shù)y=(k≠0，x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC的對角線AC的中點D，若矩形OABC的面積32，則k的值為 8 .
【分析】過點D作DE⊥OA于點E，連接OD，由矩形的性質可知：S△AOC=S矩形OABC=16，從而可求出△ODE的面積，利用反比例函數(shù)中k的幾何意義即可求出k的值.
【解答】解：過點D作DE⊥OA于點E，連接OD，
由矩形的性質可知：S△AOC=S矩形OABC=16，
又∵ED是△ACO的中位線，
∴ED=CO，
∴S△ODE=S△ACO=4
∴|k|=4，
∵k>0
∴k=8，
故答案為：8
【點評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關鍵是求出△ODE的面積，本題屬于中等題型.
12.如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E為BC中點，F(xiàn)是AB上一點，G為AD上一點，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于點H，下列結論正確的是?、佗冖邸?(填序號即可)
①△BEF∽△CHE
?、贏G=1
?、跡H=
④S△BEF=3S△AGH
【分析】依據(jù)∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE，即可得到△BEF∽△CHE;依據(jù)△AGH∽△CEH，可得，即可得出AG=CE=1;過F作FP⊥BC于P，依據(jù)EF=，，即可得到EH=EF=;依據(jù)S△CEH=9S△AGH，S△CEH=S△BEF，可得9S△AGH=S△BEF，進而得到S△BEF=4S△AGH.
【解答】解：∵菱形ABCD中，∠B=60°，∠FEG=60°，
∴∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE=120°﹣∠CEH，
∴△BEF∽△CHE，故①正確;
∴=，
又∵BC=6，E為BC中點，BF=2，
∴，即CH=4.5，
又∵AC=BC=6，
∴AH=1.5，
∵AG∥CE，
∴△AGH∽△CEH，
∴，
∴AG=CE=1，故②正確;
如圖，過F作FP⊥BC于P，則∠BFP=30°，
∴BP=BF=1，PE=3﹣1=2，PF=，
∴Rt△EFP中，EF==，
又∵，
∴EH=EF=，故③正確;
∵AG=CE，BF=CE，△△BEF∽△CHE，△AGH∽△CEH，
∴S△CEH=9S△AGH，S△CEH=S△BEF，
∴9S△AGH=S△BEF，
∴S△BEF=4S△AGH，故④錯誤;
故答案為：①②③.
【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質、菱形的性質、等邊三角形的性質的綜合運用.在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用.
三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共計30分)
13.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0.
【分析】方程利用公式法求出解即可.
【解答】解：方程2x2﹣7x+6=0，
這里a=2，b=﹣7，c=6，
∵△=49﹣48=1，
∴x=，
則x1=2，x2=1.5.
【點評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關鍵.
14.如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB的中點，AE∥CD，AC∥ED，求證：四邊形ACDE是菱形.
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質和等邊三角形的判定定理推知△ACD為等邊三角形，則平行四邊形ACDE是菱形.
【解答】證明：∵AE∥CD，AC∥ED，
∴四邊形ACDE是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD=AB=AD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∴△ACD為等邊三角形，
∴AC=CD，
∴平行四邊形ACDE是菱形.
【點評】本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質;熟練掌握菱形的判定與性質，證明四邊形ACDE是平行四邊形是解決問題的關鍵.
15.如圖，在矩形ABCD中，M是BC中點，請你僅用無刻度直尺按要求作圖.
(1)在圖1中，作AD的中點P;
(2)在圖2中，作AB的中點Q.
【分析】(1)連接AC、BD交于點O，作直線OM交AD于點P，點P即為所求;
(2)在(1)的基礎上，連接PB交AC與K，作直線DK交AB于點Q，點Q即為所求;
【解答】解：(1)如圖點P即為所求;
(2)如圖點Q即為所求;
【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，矩形的性質，三角形的中線交于一點等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.
16.已知關于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0.
(1)求證：無論k取何值，原方程總有實數(shù)根;
(2)若原方程的兩實根都小于4，且k為正整數(shù)，直接寫出k的值.
【分析】(1)利用根的判別式證明即可;
(2)利用因式分解法求出兩個解，然后根據(jù)k為正整數(shù)寫出k的值即可.
【解答】(1)證明：△=b2﹣4ac，
=(k+2)2﹣4×1×2k，
=k2+4k+4﹣8k，
=k2﹣4k+4，
=(k﹣2)2，
∵無論k取何值，(k﹣2)2≥0，
∴△≥0，
∴無論k取何值，原方程總有實數(shù)根;
(2)解：因式分解得，(x﹣2)(x﹣k)=0，
于是得，x﹣2=0，x﹣k=0，
x1=2，x2=k，
∵原方程的兩實根都小于4，
∴k<4，
∵k為正整數(shù)，
∴k=1、2、3.
【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，因式分解法解一元二次方程，難點在于(2)求出方程的兩個根.
17.小樂放學回家看到桌上有一盤包子，其中有豆沙包、肉包各1個，蘿卜包2個，這些包子除餡外無其他差別.
(1)小樂隨機地從盤子中取出一個包子，取出的是肉包的概率是多少?
(2)請用樹狀圖或表格表示小樂隨機地從盤中取出兩個包子的所有可能結果，并求取出的兩個包子都是蘿卜包的概率.
【分析】(1)直接利用概率公式求出取出的是肉包的概率;
(2)直接列舉出所有的可能，進而利用概率公式求出答案.
【解答】解：(1)∵有豆沙包、肉包各1個，蜜棗包2個，
∴隨機地從盤中取出一個粽子，取出的是肉包的概率是：;
(2)如圖所示：
，
一共有12種可能，取出的兩個都是蘿卜包的有2種，
故取出的兩個都是蘿卜包概率為：=.
【點評】此題主要考查了樹狀圖法求概率，正確列舉出所有的可能是解題關鍵.
四、解答題(本大題共3小題，每小題8分，共24分)
18.如圖，鄭明同學站在A處，測得他在路燈OC下影子AP的長與他的身高相等，都為1.5m，他向路燈方向走1m到B處時發(fā)現(xiàn)影子剛好落在A點.
(1)請在圖中畫出形成影子的光線，并確定光源O的位置;
(2)求路燈OC的高.
【分析】(1)作射線PE，AF交于點O，點O即為所求;
(2)設OC=x.由AE∥OC，可得=，推出PC=x，AC=x﹣1.5，再由BF∥OC，可得=，由此構建方程即可解決問題;
【解答】解：(1)光源O的位置如圖所示;
(2)設OC=x.
∵AE∥OC，
∴=，
∴=，
∴PC=x，
∴AC=x﹣1.5，
∵BF∥OC，
∴=，
∴=，
∴x=4.5，
答：路燈OC的高為4.5米.
【點評】本題考查相似三角形的應用、中心投影、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.
19.如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(2，2)，B(3，0)，C(1，﹣1)，AC交x軸于點P.
(1)∠ACB的度數(shù)為 45° ;
(2)P點坐標為 (，0) ;
(3)以點O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，請在圖中畫出所有符合條件的三角形.
【分析】(1)由題意得到三角形ABC為等腰直角三角形，即可確定出所求角度數(shù);
(2)利用待定系數(shù)法求出直線AC解析式，即可確定出P坐標;
(3)以為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，畫出相應圖形，如圖所示.
【解答】解：(1)∵∠ABC=90°，AB=CB=，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°;
故答案為：45°;
(2)由題意得：A(2，2)，C(1，﹣1)，
設直線AC解析式為y=kx+b，
把A與C坐標代入得：，
解得：，即直線AC解析式為y=3x﹣4，
令y=0，得到x=，
則P的坐標為(，0);
故答案為：(，0);
(3)如圖所示：△A1B1C1和△A2B2C2為所求三角形.
【點評】此題考查了作圖﹣位似變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及等腰三角形的判定與性質，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵.
20.某工廠設計了一款成本為20元/件的工藝品投放市場進行試銷，經(jīng)過調查，得到如下數(shù)據(jù)：
銷售單價x(元∕件) … 30 40 50 60 …
每天銷售量y(件) … 500 400 300 200 …
(1)研究發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y與單價x滿足一次函數(shù)關系，求出y與x的關系式;
(2)當?shù)匚飪r部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元?
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解可得;
(2)根據(jù)“總利潤=單件利潤×銷售量”可得關于x的一元二次方程，解之即可得.
【解答】解：(1)設y=kx+b，
根據(jù)題意可得，
解得：，
則y=﹣10x+800;
(2)根據(jù)題意，得：(x﹣20)(﹣10x+800)=8000，
整理，得：x2﹣100x+2400=0，
解得：x1=40，x2=60，
∵銷售單價最高不能超過45元/件，
∴x=40，
答：銷售單價定為40元/件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤8000元.
【點評】本題主要考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及找到題目蘊含的相等關系.
五、解答題(本大題共2小題，每小題9分，共18分)
21.如圖，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF=BE，AF與BE交于點G，∠AGB=60°.
(1)求證：AF=DE;
(2)若AB=6，BC=8，求AF.
【分析】(1)欲證明AF=DE，只要證明四邊形ADEF是平行四邊形即可;
(2)連接BD.利用勾股定理求出BD，再證明△BDE是等邊三角形即可;
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵四邊形BCEF是平行四邊形，
∴BC∥EF，BC=EF，
∴AD=EF，AD∥EF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
∴AF=DE.
(2)連接BD.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，CD=AB=6，
∵BC=8，
∴BD==10，
∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴AF∥DE，
∴∠AGB=∠BED=60°，
∵AF=DE=BE，
∴△BDE是等邊三角形，
∴AF=BE=BD=10.
【點評】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.
22.如圖，已知一次函數(shù)y=x﹣3與反比例函數(shù)y=的圖象相交于點A(4，n)，與x軸相交于點B.
(1)填空：n的值為 3 ，k的值為 12 ;
(2)以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，求點D的坐標;
(3)觀察反比例函數(shù)y=的圖象，當y≥﹣3時，請直接寫出自變量x的取值范圍.
【分析】(1)把點A(4，n)代入一次函數(shù)y=x﹣3，得到n的值為3;再把點A(4，3)代入反比例函數(shù)y=，得到k的值為12;
(2)根據(jù)坐標軸上點的坐標特征可得點B的坐標為(2，0)，過點A作AE⊥x軸，垂足為E，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，根據(jù)勾股定理得到AB=，根據(jù)AAS可得△ABE≌△DCF，根據(jù)菱形的性質和全等三角形的性質可得點D的坐標;
(3)根據(jù)反比例函數(shù)的性質即可得到當y≥﹣3時，自變量x的取值范圍.
【解答】解：(1)把點A(4，n)代入一次函數(shù)y=x﹣3，
可得n=×4﹣3=3;
把點A(4，3)代入反比例函數(shù)y=，
可得3=，
解得k=12.
故答案為：3，12.
(2)∵一次函數(shù)y=x﹣3與x軸相交于點B，
∴x﹣3=0，
解得x=2，
∴點B的坐標為(2，0)，
如圖，過點A作AE⊥x軸，垂足為E，
過點D作DF⊥x軸，垂足為F，
∵A(4，3)，B(2，0)，
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，
在Rt△ABE中，
AB===，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC=，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∵AE⊥x軸，DF⊥x軸，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE與△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF(ASA)，
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+，
∴點D的坐標為(4+，3).
(3)當y=﹣3時，﹣3=，
解得x=﹣4.
故當y≥﹣3時，自變量x的取值范圍是x≤﹣4或x>0.
【點評】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質和全等三角形的判定和性質，勾股定理，反比例函數(shù)的性質等知識，求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解即可.
六、解答題(本大題共12分)
23.閱讀下列材料，并按要求解答.
【模型介紹】
如圖①，C是線段A、B上一點E、F在AB同側，且∠A=∠B=∠ECF=90°，看上去像一個“K“，我們稱圖①為“K”型圖.
【性質探究】
性質1：如圖①，若EC=FC，△ACE≌△BFC
性質2：如圖①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不為1.
【模型應用】
應用1：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AD=1，CD=2，BC=2，AB=5.求BD.
應用2：如圖③，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，連接EF.交AH的反向延長線于點K，證明：K為EF中點.
(1)請你完成性質1的證明過程;
(2)請分別解答應用1，應用2提出的問題.
【分析】(1)根據(jù)AAS即可證明;
(2)①應用1：如圖2中，連接AC，作BH⊥DC交DC的延長線與H.首先證明符合“k模型”，利用性質2根據(jù)相似三角形的性質即可解決問題;
?、趹?：如圖③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N.由性質1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，推出FM=AH，AH=EN，推出FM=EN，再證明△FKN≌△EKN即可解決問題;
【解答】解：(1)如圖①中，
∵∠A=∠ECF=∠B=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠F=90°，
∴∠ACE=∠F，∵EC=CF，
∴△ACE≌△BFC.
(2)①應用1：如圖2中，連接AC，作BH⊥DC交DC的延長線與H.
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=1，CD=2，
∴AC==，
∵AC2+BC2=5+20=25，AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=∠CHB=90°，
∴符合“K”型圖，
∴△ACD∽△CBH，
∴==，
∴==，
∵CH=2，BH=4，
∴DH=4，
在Rt△BDH中，BD==4.
?、趹?：如圖③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N.
由性質1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，
∴FM=AH，AH=EN，
∴FM=EN，
∵∠FKM=∠EKN，∠M=∠ENK=90°，
∴△FKN≌△EKN，
∴FK=KE，
∴K為EF中點.
【點評】本題考查相似三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、正方形的性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造模型解決問題，屬于中考壓軸題.
第一學期九年級數(shù)學期末試卷
一.選擇題(本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分)
1.一元二次方程x2=2x的根是( )
A.0 B.2 C.0和2 D.0和﹣2
2.如圖圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是( )
A. B.
C. D.
3.若關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是( )
A.k>﹣1 B.k>﹣1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0
4.把拋物線y=(x+1)2向下平移2個單位，再向右平移1個單位，所得到的拋物線是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2﹣2 C.y=x2+2 D.y=x2﹣2
5.如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點B′的坐標是( )
A.(﹣2，3) B.(2，﹣3)
C.(3，﹣2)或(﹣2，3) D.(﹣2，3)或(2，﹣3)
6.如圖，反比例函數(shù)和正比例函數(shù)y2=k2x的圖象都經(jīng)過點A(﹣1，2)，若y1>y2，則x的取值范圍是( )
A.﹣1
C.x<﹣1或0
7.如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉至矩形A′B′C′D′的位置，此時AC的中點恰好與D點重合，AB′交CD于點E.若AB=3，則△AEC的面積為( )
A.3 B.1.5 C. D.
8.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)中自變量x和函數(shù)值y的部分對應值如下表：
x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 …
y … ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣2 ﹣ 0 …
從上表可知，下列說法正確的個數(shù)是( )
①拋物線與x軸的一個交點為(﹣2，0);
?、趻佄锞€與y軸的交點為(0，﹣2);
?、蹝佄锞€的對稱軸是：x=1;
?、茉趯ΨQ軸左側，y隨x增大而增大.
A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空題(本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分)
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanA= .
10.一個不透明的盒子中裝有10個黑球和若干個白球，它們除顏色不同外，其余均相同，從盒子中隨機摸出一球記下其顏色，再把它放回盒子中搖勻，重復上述過程，共試驗400次，其中有240次摸到白球，由此估計盒子中的白球大約有 個.
11.某廠一月份生產產品50臺，計劃二、三月份共生產產品120臺，設二、三月份平均每月增長率為x，根據(jù)題意，可列出方程為 .
12.如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1、l2、l3于點A、B、C，直線DF分別交l1、l2、l3于點D、E、F，AC與DF相交于點H，且AH=2HB，BC=5HB，則的值為 .
13.如圖，將邊長為6的正方形ABCD折疊，使點D落在AB邊的中點E處，折痕為FH，點C落在點Q處，EQ與BC交于點G，則tan∠EGB等于 .
14.墻角處有若千大小相同的小正方體堆成如圖所示實體的立體圖形，如果打算搬走其中部分小正方體(不考慮操作技術的限制)，但希望搬完后的實體的三種視圍分別保持不變，那么最多可以搬走 個小正方體.
三.作圖題(本題滿分4分)
15.用圓規(guī)、直尺作圍，不寫作法，但要保留作圍痕跡.
如圖，已知∠α，線段b，求作：菱形ABCD，使∠ABC=∠α，邊BC=b.
四.解答題(本大題滿分74分，共有9道小題)
16.(8分)解下列方程：
(1)x2﹣5x+2=0
(2)2(x﹣3)2=x(x﹣3)
17.(6分)小敏的爸爸買了某項體育比賽的一張門票，她和哥哥兩人都很想去觀看.可門票只有一張，讀九年級的哥哥想了一個辦法，拿了8張撲克牌，將數(shù)字為2，3，5，9的四張牌給小敏，將數(shù)字為4，6，7，8的四張牌留給自己，并按如下游戲規(guī)則進行：小敏和哥哥從各自的四張牌中隨機抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小敏去;如果和為奇數(shù)，則哥哥去.
(1)請用畫樹形圖或列表的方法求小敏去看比賽的概率;
(2)哥哥設計的游戲規(guī)則公平嗎?若公平，請說明理由;若不公平，請你設計一種公平的游戲規(guī)則.
18.(6分)如圖，某高樓頂部有一信號發(fā)射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C兩點處測得該塔頂端F的仰角分別為∠α=48°，∠β=65°，矩形建筑物寬度AD=20m，高度DC=33m.計算該信號發(fā)射塔頂端到地面的高度FG(結果精確到1m).
(參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)
19.(6分)一天晚上，李明利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度.如圖，當在點A處放置標桿時，李明測得直立的標桿高AM與影子長AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處放置同一個標桿，測得直立標桿高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB=1.2m，已知標桿直立時的高為1.8m，求路燈的高CD的長.
20.(8分)心理學家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化.開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散.經(jīng)過實驗分析可知，學生的注意力指標數(shù)y隨時間x(分鐘)的變化規(guī)律如圖所示(其中AB，BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分)：
(1)分別求出線段AB和曲線CD的函數(shù)關系式;
(2)開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中?
(3)一道數(shù)學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數(shù)最低達到36，那么經(jīng)過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目?
21.(8分)如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB和AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F，連接AF，BF.
(1)求證：△ADE≌△CFE;
(2)若∠AFB=90°，試判斷四邊形BCFD的形狀，并加以證明.
22.(10分)某水果店銷售某種水果，原來每箱售價60元，每星期可賣200箱，為了促銷，該水果店決定降價銷售.市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣20箱.已知該水果每箱的進價是40元，設該水果每箱售價x元，每星期的銷售量為y箱.
(1)求y與x之間的函數(shù)關系式：
(2)當銷售量不低于400箱時，每箱售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤多少元?
23.(10分)[歸納探究]
把長為n (n為正整數(shù)) 個單位的線段，切成長為1個單位的線段，允許邊切邊調動，最少要切多少次?
我們可以先從特殊入手，通過試驗、觀察、類比，最后歸納、猜測得出結論.
不妨假設最少能切m次，我們來探究m與n之間的關系.
如圖，當n=1時，最少需要切0次，即m=0.
如圖，當n=2時，從線段中間最少需要切1，即m=1.
如圖，當n=3時，第一次切1個單位長的線段，第二次繼續(xù)切剩余線段1個單位長即可，最少需要切2次，即m=2.
如圖，當n=4時，第一次切成兩根2個單位長的線段，再調動重疊切第二次即可，最少需要切2次，即m=2.
如圖，當n=5時，第一次切成2個單位長和3個單位長的線段.將兩根線段適當調動重疊，再切二次即可，最少需要切3次，即m=3.
仿照上述操作方法，請你用語言敘述，當n=16時，所需最少切制次數(shù)的方法，
如此操作實驗，可獲得如下表格中的數(shù)據(jù)：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
m 0 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4
當n=1時，m=0.
當1
當2
當4
當8
…
根據(jù)探究請用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍：
當n=1180時，m=
[類比探究]
由一維的線段我們可以聯(lián)想到二維的平面，類比上面問題解決的方法解決如下問題.
把邊長n (n為正整數(shù)) 個單位的大正方形，切成邊長為1個單位小正方形，允許邊切邊調動，最少要切多少次?
不妨假設最少能切m次，我們來探究m與n之間的關系.
通過實驗觀察：
當n=1時，從行的角度分析，最少需要切0次，從列的角度分析，最少需要切0次.最少共切0，即m=0.
當n=2時，從行的角度分析，最少需要切1次，從列的角度分析，最少需要切1次，最少共切2，當1
當n=3時，從行的角度分析，最少需要切2次，從列的角度分析，最少需要切2次，最少共切4，當2
…
當n=8時，從行的角度分析，最少需要切3次，從列的角度分析，最少需要切3次，最少共切6，當4
當8
…
根據(jù)探究請用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍：
[拓廣探究]
由二維的平面我們可以聯(lián)想到三維的立體空間，類比上面問題解決的方法解決如下問題.
問題(1)：把棱長為4個單位長的大正方體，切成棱長為1個單位小正方體，允許邊切邊調動，最少要切 次.
問題(2)：把棱長為8個單位長的大正方體，切成棱長為1個單位小正方體，允許邊切邊調動，最少要切 次，
問題(3)：把棱長為n (n 為正整數(shù)) 個單位長的大正方體，切成邊長為1個單位小正方體，允許邊切邊調動，最少要切 次.
請用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍： .
24.(12分)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，AB=10.AC=6.動點P在線段BC上從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1個單位長的速度勻速運動;動點Q在線段DC上從點D出發(fā)沿DC 的力向以每秒1個單位長的速度勻速運動，過點P作PE⊥BC.交線段AB于點E.若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時整個運動隨之停止，設運動時間為t秒.
(1)當t為何值時，QE∥BC?
(2)設△PQE的面積為S，求出S與t的函數(shù)關系式：
(3)是否存在某一時刻t，使得△PQE的面積S最大?若存在，求出此時t的值; 若不存在，請說明理由.
(4)是否存在某一時刻t，使得點Q在線段EP的垂直平分線上?若存在，求出此時t的值;若不存在，請說明理由.
參考答案與試題解析
一.選擇題(本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分)
1.一元二次方程x2=2x的根是( )
A.0 B.2 C.0和2 D.0和﹣2
【分析】根據(jù)一元二次方程的特點，用提公因式法解答.
【解答】解：移項得，x2﹣2x=0，
因式分解得，x(x﹣2)=0，
解得，x1=0，x2=2，
故選：C.
【點評】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法.
2.如圖圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是( )
A. B.
C. D.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念進行判斷.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形;
B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形;
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形;
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.
故選：A.
【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合.
3.若關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是( )
A.k>﹣1 B.k>﹣1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0
【分析】根據(jù)根的判別式及一元二次方程的定義得出關于k的不等式組，求出k的取值范圍即可.
【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，即，
解得k>﹣1且k≠0.
故選：B.
【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與判別式的關系是解答此題的關鍵.
4.把拋物線y=(x+1)2向下平移2個單位，再向右平移1個單位，所得到的拋物線是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2﹣2 C.y=x2+2 D.y=x2﹣2
【分析】先寫出平移前的拋物線的頂點坐標，然后根據(jù)向下平移縱坐標減，向右平移橫坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式解析式寫出即可.
【解答】解：拋物線y=(x+1)2的頂點坐標為(﹣1，0)，
∵向下平移2個單位，
∴縱坐標變?yōu)椹?，
∵向右平移1個單位，
∴橫坐標變?yōu)椹?+1=0，
∴平移后的拋物線頂點坐標為(0，﹣2)，
∴所得到的拋物線是y=x2﹣2.
故選：D.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點的變化確定函數(shù)圖象的變化求解更加簡便，且容易理解.
5.如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點B′的坐標是( )
A.(﹣2，3) B.(2，﹣3)
C.(3，﹣2)或(﹣2，3) D.(﹣2，3)或(2，﹣3)
【分析】由矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′與矩形OABC的位似比為1：2，又由點B的坐標為(﹣4，6)，即可求得答案.
【解答】解：∵矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似，
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，
∴位似比為：1：2，
∵點B的坐標為(﹣4，6)，
∴點B′的坐標是：(﹣2，3)或(2，﹣3).
故選：D.
【點評】此題考查了位似圖形的性質.此題難度不大，注意位似圖形是特殊的相似圖形，注意掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應用，注意數(shù)形結合思想的應用.
6.如圖，反比例函數(shù)和正比例函數(shù)y2=k2x的圖象都經(jīng)過點A(﹣1，2)，若y1>y2，則x的取值范圍是( )
A.﹣1
C.x<﹣1或0
【分析】易得兩個交點坐標關于原點對稱，可求得正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的另一交點，進而判斷在交點的哪側相同橫坐標時反比例函數(shù)的值都大于正比例函數(shù)的值即可.
【解答】解：根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)交點規(guī)律：兩個交點坐標關于原點對稱，可得另一交點坐標為(1，﹣2)，
由圖象可得在點A的右側，y軸的左側以及另一交點的右側相同橫坐標時反比例函數(shù)的值都大于正比例函數(shù)的值;
∴﹣1
【點評】用到的知識點為：正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點關于原點對稱;求自變量的取值范圍應該從交點入手思考.
7.如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉至矩形A′B′C′D′的位置，此時AC的中點恰好與D點重合，AB′交CD于點E.若AB=3，則△AEC的面積為( )
A.3 B.1.5 C. D.
【分析】根據(jù)旋轉后AC的中點恰好與D點重合，利用旋轉的性質得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋轉后矩形與已知矩形全等及矩形的性質得到∠DAE為30°，進而得到∠EAC=∠ECA，利用等角對等邊得到AE=CE，設AE=CE=x，表示出AD與DE，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出EC的長，即可求出三角形AEC面積.
【解答】解：∵旋轉后AC的中點恰好與D點重合，即AD=AC′=AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，設AE=EC=x，則有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，
AD=BC=AB•tan30°=×3=，
根據(jù)勾股定理得：x2=(3﹣x)2+()2，
解得：x=2，
∴EC=2，
則S△AEC=EC•AD=，
故選：D.
【點評】此題考查了旋轉的性質，含30度直角三角形的性質，勾股定理，以及等腰三角形的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵.
8.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)中自變量x和函數(shù)值y的部分對應值如下表：
x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 …
y … ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣2 ﹣ 0 …
從上表可知，下列說法正確的個數(shù)是( )
?、賿佄锞€與x軸的一個交點為(﹣2，0);
?、趻佄锞€與y軸的交點為(0，﹣2);
?、蹝佄锞€的對稱軸是：x=1;
?、茉趯ΨQ軸左側，y隨x增大而增大.
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】③由點(﹣1，﹣2)、(0，﹣2)在拋物線y=ax2+bx+c上結合拋物線的對稱性，即可得出拋物線的對稱軸為直線x=﹣，結論③錯誤;①由拋物線的對稱軸及拋物線與x軸一個交點的坐標，即可得出拋物線與x軸的另一交點為(﹣2，0)，結論①正確;②根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，即可找出拋物線與y軸的交點為(0，﹣2)，結論②正確;④根據(jù)表格中數(shù)據(jù)結合拋物線的對稱軸為直線x=﹣，即可得出在對稱軸左側，y隨x增大而減小，結論④錯誤.綜上即可得出結論.
【解答】解：③∵點(﹣1，﹣2)、(0，﹣2)在拋物線y=ax2+bx+c上，
∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣，結論③錯誤;
?、佟邟佄锞€的對稱軸為直線x=﹣，
∴當x=﹣2和x=1時，y值相同，
∴拋物線與x軸的一個交點為(﹣2，0)，結論①正確;
?、凇唿c(0，﹣2)在拋物線y=ax2+bx+c上，
∴拋物線與y軸的交點為(0，﹣2)，結論②正確;
④∵﹣>﹣2>﹣，拋物線的對稱軸為直線x=﹣，
∴在對稱軸左側，y隨x增大而減小，結論④錯誤.
故選：B.
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點以及二次函數(shù)的性質，逐一分析四條結論的正誤是解題的關鍵.
二.填空題(本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分)
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanA= .
【分析】根據(jù)已知條件設出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長，運用三角函數(shù)的定義解答.
【解答】解：由sinA==知，可設a=3x，則c=5x，b=4x.
∴tanA===.
【點評】求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角(或余角)的三角函數(shù)關系式求三角函數(shù)值.
10.一個不透明的盒子中裝有10個黑球和若干個白球，它們除顏色不同外，其余均相同，從盒子中隨機摸出一球記下其顏色，再把它放回盒子中搖勻，重復上述過程，共試驗400次，其中有240次摸到白球，由此估計盒子中的白球大約有 15 個.
【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，設未知數(shù)列出方程求解.
【解答】解：∵共試驗400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的比例為=0.6，
設盒子中共有白球x個，則=0.6，
解得：x=15，
故答案為：15.
【點評】本題考查利用頻率估計概率.大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率.關鍵是根據(jù)白球的頻率得到相應的等量關系.
11.某廠一月份生產產品50臺，計劃二、三月份共生產產品120臺，設二、三月份平均每月增長率為x，根據(jù)題意，可列出方程為 50(1+x)+50(1+x)2=120 .
【分析】主要考查增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×(1+增長率)，如果設二、三月份每月的平均增長率為x，根據(jù)“計劃二、三月份共生產120臺”，即可列出方程.
【解答】解：設二、三月份每月的平均增長率為x，
則二月份生產機器為：50(1+x)，
三月份生產機器為：50(1+x)2;
又知二、三月份共生產120臺;
所以，可列方程：50(1+x)+50(1+x)2=120.
故答案是：50(1+x)+50(1+x)2=120.
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，可根據(jù)增長率的一般規(guī)律找到關鍵描述語，列出方程;平均增長率問題，一般形式為a(1+x)2=b，a為起始時間的有關數(shù)量，b為終止時間的有關數(shù)量.
12.如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1、l2、l3于點A、B、C，直線DF分別交l1、l2、l3于點D、E、F，AC與DF相交于點H，且AH=2HB，BC=5HB，則的值為 .
【分析】求出AB：BC，由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結果.
【解答】解：設BH=a，則AH=2a，BC=5a，AB=AH+BH=3a，
∴AB：BC=3a：5a=3：5，
∵l1∥l2∥l3，
∴==，
故答案為.
【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理;熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關鍵.
13.如圖，將邊長為6的正方形ABCD折疊，使點D落在AB邊的中點E處，折痕為FH，點C落在點Q處，EQ與BC交于點G，則tan∠EGB等于 .
【分析】根據(jù)翻折的性質可得DF=EF，設EF=x，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，從而得到AF、EF的長，再求出△AEF和△BGE相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出BG，然后根據(jù)解直角三角形列式計算即可得解.
【解答】解：由翻折的性質得，DF=EF，
設EF=x，則AF=6﹣x，
∵點E是AB的中點，
∴AE=BE=×6=3，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
即32+(6﹣x)2=x2，
解得x=，
∴AF=6﹣=，
∵∠FEG=∠D=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠BEG，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BGE，
∴=，
即=，
解得BG=4，
∴tan∠EGB=.
故答案為：.
【點評】本題考查了翻折變換的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，熟記性質并求出△AEF的各邊的長，然后利用相似三角形的性質，求出△EBG的各邊的長是解題的關鍵.
14.墻角處有若千大小相同的小正方體堆成如圖所示實體的立體圖形，如果打算搬走其中部分小正方體(不考慮操作技術的限制)，但希望搬完后的實體的三種視圍分別保持不變，那么最多可以搬走 27 個小正方體.
【分析】留下靠墻的正方體，以及墻角處向外的一列正方體，依次數(shù)出搬走的小正方體的個數(shù)相加即可.
【解答】解：第1列最多可以搬走9個小正方體;
第2列最多可以搬走8個小正方體;
第3列最多可以搬走3個小正方體;
第4列最多可以搬走5個小正方體;
第5列最多可以搬走2個小正方體.
9+8+3+5+2=27個.
故最多可以搬走27個小正方體.
故答案為：27.
【點評】本題考查了組合體的三視圖，解題的關鍵是依次得出每列可以搬走小正方體最多的個數(shù)，難度較大.
三.作圖題(本題滿分4分)
15.用圓規(guī)、直尺作圍，不寫作法，但要保留作圍痕跡.
如圖，已知∠α，線段b，求作：菱形ABCD，使∠ABC=∠α，邊BC=b.
【分析】先作∠MBN=∠α，再在BM和BN上分別截取BA=b，BC=b，然后分別一點A、C為圓心，b為半徑畫弧，兩弧相交于點D，則四邊形ABCD滿足條件.
【解答】解：如圖，菱形ABCD為所作.
【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.
四.解答題(本大題滿分74分，共有9道小題)
16.(8分)解下列方程：
(1)x2﹣5x+2=0
(2)2(x﹣3)2=x(x﹣3)
【分析】(1)公式法求解可得;
(2)因式分解法求解可得.
【解答】解：(1)∵a=1、b=﹣5，c=2，
∴△=25﹣4×1×2=17>0，
則x=;
(2)∵2(x﹣3)2﹣x(x﹣3)=0，
∴(x﹣3)(x﹣6)=0，
則x﹣3=0或x﹣6=0，
解得：x=3或x=6.
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵
17.(6分)小敏的爸爸買了某項體育比賽的一張門票，她和哥哥兩人都很想去觀看.可門票只有一張，讀九年級的哥哥想了一個辦法，拿了8張撲克牌，將數(shù)字為2，3，5，9的四張牌給小敏，將數(shù)字為4，6，7，8的四張牌留給自己，并按如下游戲規(guī)則進行：小敏和哥哥從各自的四張牌中隨機抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數(shù)字相加，如果和為偶數(shù)，則小敏去;如果和為奇數(shù)，則哥哥去.
(1)請用畫樹形圖或列表的方法求小敏去看比賽的概率;
(2)哥哥設計的游戲規(guī)則公平嗎?若公平，請說明理由;若不公平，請你設計一種公平的游戲規(guī)則.
【分析】游戲是否公平，關鍵要看游戲雙方獲勝的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數(shù)目是否相等.
【解答】解：(1)根據(jù)題意，我們可以畫出如下的樹形圖：
或者：根據(jù)題意，我們也可以列出下表：
小敏
哥哥 2 3 5 9
4 (4，2) (4，3) (4，5) (4，9)
6 (6，2) (6，3) (6，5) (6，9)
7 (7，2) (7，3) (7，5) (7，9)
8 (8，2) (8，3) (8，5) (8，9)
從樹形圖(表)中可以看出，所有可能出現(xiàn)的結果共有16個，這些結果出現(xiàn)的可能性相等.而和為偶數(shù)的結果共有6個，所以小敏看比賽的概率P(和為偶數(shù))==.
(2)哥哥去看比賽的概率P(和為奇數(shù))=1﹣=，因為<，所以哥哥設計的游戲規(guī)則不公平;
如果規(guī)定點數(shù)之和小于等于10時則小敏(哥哥)去，點數(shù)之和大于等于11時則哥哥(小敏)去.則兩人去看比賽的概率都為，那么游戲規(guī)則就是公平的.
或者：如果將8張牌中的2、3、4、5四張牌給小敏，而余下的6、7、8、9四張牌給哥哥，則和為偶數(shù)或奇數(shù)的概率都為，那么游戲規(guī)則也是公平的.(只要滿足兩人手中點數(shù)為偶數(shù)(或奇數(shù))的牌的張數(shù)相等即可.)
【點評】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
18.(6分)如圖，某高樓頂部有一信號發(fā)射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C兩點處測得該塔頂端F的仰角分別為∠α=48°，∠β=65°，矩形建筑物寬度AD=20m，高度DC=33m.計算該信號發(fā)射塔頂端到地面的高度FG(結果精確到1m).
(參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)
【分析】將題目中所涉及到的仰角轉換為直角三角形的內角，利用解直角三角形的知識求得線段FG的長即可.
【解答】解：如圖，延長AD交FG于點E.(1分)
在Rt△FCG中，tanβ=，∴CG=.
在Rt△FAE中，tanα=，∴AE=.
∵AE﹣CG=AE﹣DE=AD，
∴﹣=AD.
即﹣=AD.
∴FG==115.5≈116.
答：該信號發(fā)射塔頂端到地面的高度FG約是116m.
【點評】本題考查了仰角問題，解決此類問題的關鍵是正確的將仰角轉化為直角三角形的內角并選擇正確的邊角關系解直角三角形.
19.(6分)一天晚上，李明利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度.如圖，當在點A處放置標桿時，李明測得直立的標桿高AM與影子長AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處放置同一個標桿，測得直立標桿高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB=1.2m，已知標桿直立時的高為1.8m，求路燈的高CD的長.
【分析】根據(jù)AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，從而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形對應邊的比相等列出比例式求解即可.
【解答】解：設CD長為x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC=CD=x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴=，即=，
解得：x=5.4.
經(jīng)檢驗，x=5.4是原方程的解，
∴路燈高CD為5.4米.
【點評】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是根據(jù)已知條件得到平行線，從而證得相似三角形.
20.(8分)心理學家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化.開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散.經(jīng)過實驗分析可知，學生的注意力指標數(shù)y隨時間x(分鐘)的變化規(guī)律如圖所示(其中AB，BC分別為線段，CD為雙曲線的一部分)：
(1)分別求出線段AB和曲線CD的函數(shù)關系式;
(2)開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中?
(3)一道數(shù)學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數(shù)最低達到36，那么經(jīng)過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目?
【分析】(1)分別從圖象中找到其經(jīng)過的點，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式即可;
(2)根據(jù)上題求出的AB和CD的函數(shù)表達式，再分別求第五分鐘和第三十分鐘的注意力指數(shù)，最后比較判斷;
(3)分別求出注意力指數(shù)為36時的兩個時間，再將兩時間之差和19比較，大于19則能講完，否則不能.
【解答】解：(1)設線段AB所在的直線的解析式為y1=k1x+20，
把B(10，40)代入得，k1=2，
∴y1=2x+20.
設C、D所在雙曲線的解析式為y2=，
把C(25，40)代入得，k2=1000，
∴y2=.
(2)當x1=5時，y1=2×5+20=30，
當x2=30時，y2==，
∴y1
∴第30分鐘注意力更集中.
(3)令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8
令y2=36，
∴36=，
∴x2=≈27.8
∵27.8﹣8=19.8>19，
∴經(jīng)過適當安排，老師能在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目.
【點評】本題考查了函數(shù)的應用.解題的關鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關系式，從實際意義中找到對應的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)自變量的值求算對應的函數(shù)值.
21.(8分)如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB和AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F，連接AF，BF.
(1)求證：△ADE≌△CFE;
(2)若∠AFB=90°，試判斷四邊形BCFD的形狀，并加以證明.
【分析】(1)根據(jù)三角形的中位線和平行四邊形的性質、全等三角形的判定可以證明結論成立;
(2)根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可以證明結論成立.
【解答】證明：(1)∵在△ABC中，點D，E分別是邊AB和AC的中點，
∴AD=DB，AE=CE，DE∥BC，
∵CF∥AB，DE=，DF=BC，
∴四邊形BCFD是平行四邊形，DE=DF，
∴BD=CF，DE=FE，
∴AD=CF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE(SSS);
(2)四邊形BCFD是菱形，
證明：連接CD，
由(1)知DE=FE，AE=CE，四邊形BCFD是平行四邊形，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED(SAS)，
∴∠AFE=∠CDE，
∴AF∥CD，
∴∠AFB=∠DOB，
∵∠AFB=90°，
∴∠DOB=90°，
即AF⊥CD，
∵四邊形BCFD是平行四邊形，
∴四邊形BCFD是菱形.
【點評】本題考查全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答.
22.(10分)某水果店銷售某種水果，原來每箱售價60元，每星期可賣200箱，為了促銷，該水果店決定降價銷售.市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣20箱.已知該水果每箱的進價是40元，設該水果每箱售價x元，每星期的銷售量為y箱.
(1)求y與x之間的函數(shù)關系式：
(2)當銷售量不低于400箱時，每箱售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤多少元?
【分析】(1)根據(jù)售量y(件)與售價x(元/件)之間的函數(shù)關系即可得到結論.
(2)設每星期利潤為W元，構建二次函數(shù)利用二次函數(shù)性質解決問題.
【解答】解：(1)由題意可得：y=200+20(60﹣x)=﹣20x+1400(0
(2)設每星期利潤為W元，
W=(x﹣40)(﹣20x+1400)=﹣20(x﹣55)2+4500，
∵﹣20x+1400≥400，
∴x≤50，
∵﹣20<0，拋物線開口向下，
∴x=50時，W最大值=4000.
∴每箱售價定為50元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤4000元.
【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是構建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考?？碱}型.
23.(10分)[歸納探究]
把長為n (n為正整數(shù)) 個單位的線段，切成長為1個單位的線段，允許邊切邊調動，最少要切多少次?
我們可以先從特殊入手，通過試驗、觀察、類比，最后歸納、猜測得出結論.
不妨假設最少能切m次，我們來探究m與n之間的關系.
如圖，當n=1時，最少需要切0次，即m=0.
如圖，當n=2時，從線段中間最少需要切1，即m=1.
如圖，當n=3時，第一次切1個單位長的線段，第二次繼續(xù)切剩余線段1個單位長即可，最少需要切2次，即m=2.
如圖，當n=4時，第一次切成兩根2個單位長的線段，再調動重疊切第二次即可，最少需要切2次，即m=2.
如圖，當n=5時，第一次切成2個單位長和3個單位長的線段.將兩根線段適當調動重疊，再切二次即可，最少需要切3次，即m=3.
仿照上述操作方法，請你用語言敘述，當n=16時，所需最少切制次數(shù)的方法，
如此操作實驗，可獲得如下表格中的數(shù)據(jù)：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
m 0 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4
當n=1時，m=0.
當1
當2
當4
當8
…
根據(jù)探究請用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍： 2m﹣1
當n=1180時，m= 11
[類比探究]
由一維的線段我們可以聯(lián)想到二維的平面，類比上面問題解決的方法解決如下問題.
把邊長n (n為正整數(shù)) 個單位的大正方形，切成邊長為1個單位小正方形，允許邊切邊調動，最少要切多少次?
不妨假設最少能切m次，我們來探究m與n之間的關系.
通過實驗觀察：
當n=1時，從行的角度分析，最少需要切0次，從列的角度分析，最少需要切0次.最少共切0，即m=0.
當n=2時，從行的角度分析，最少需要切1次，從列的角度分析，最少需要切1次，最少共切2，當1
當n=3時，從行的角度分析，最少需要切2次，從列的角度分析，最少需要切2次，最少共切4，當2
…
當n=8時，從行的角度分析，最少需要切3次，從列的角度分析，最少需要切3次，最少共切6，當4
當8
…
根據(jù)探究請用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍：
[拓廣探究]
由二維的平面我們可以聯(lián)想到三維的立體空間，類比上面問題解決的方法解決如下問題.
問題(1)：把棱長為4個單位長的大正方體，切成棱長為1個單位小正方體，允許邊切邊調動，最少要切 6 次.
問題(2)：把棱長為8個單位長的大正方體，切成棱長為1個單位小正方體，允許邊切邊調動，最少要切 9 次，
問題(3)：把棱長為n (n 為正整數(shù)) 個單位長的大正方體，切成邊長為1個單位小正方體，允許邊切邊調動，最少要切 ，n≤ 次.
請用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍：
【分析】解決此題的關鍵之一是熟悉截取線段的過程，得出n與m的數(shù)量關系，其次是截取二維平面圖形，三維立體圖形次數(shù)之間的關系.
【解答】解：由截取一維線段所得到的圖標可知當8
故答案是：8.
然后觀察左列n的值與右列m的值的關系可以得到2m﹣1
故答案是：2m﹣1
當n=1180時，通過計算可知符合條件的m的值等于11.
故答案是11.
熟悉了截取的過程很容易得到當n的值相等時，截取二維圖形的次數(shù)是一維圖形的次數(shù)的2倍，截取三維圖形的次數(shù)是截取一維線段的次數(shù)的三倍.
當8
故答案是：8.
截取一維線段時用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍：2m﹣1
所以，截取二維圖片時，m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍是：
同理，截取三維立體圖形時，n為4時，要切6次，故答案是：6.
n為8時，要切9次，故答案時9.
用m的代數(shù)式表示線段n的取值范圍：
故答案是
【點評】熟悉截取線段的方法和截取過程，仔細觀察線段長度和截取次數(shù)的關系，然后找到截取不同的圖形，當邊長相等時，截取次數(shù)的關系是解決問題的關鍵.
24.(12分)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，AB=10.AC=6.動點P在線段BC上從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1個單位長的速度勻速運動;動點Q在線段DC上從點D出發(fā)沿DC 的力向以每秒1個單位長的速度勻速運動，過點P作PE⊥BC.交線段AB于點E.若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時整個運動隨之停止，設運動時間為t秒.
(1)當t為何值時，QE∥BC?
(2)設△PQE的面積為S，求出S與t的函數(shù)關系式：
(3)是否存在某一時刻t，使得△PQE的面積S最大?若存在，求出此時t的值; 若不存在，請說明理由.
(4)是否存在某一時刻t，使得點Q在線段EP的垂直平分線上?若存在，求出此時t的值;若不存在，請說明理由.
【分析】(1)先用勾股定理求出BC，進而得出CD=AB=10，利用銳角三角函數(shù)得出∠B的相關三角函數(shù)，再判斷出△CGQ∽△CAD，利用得出的比例式建立方程即可得出結論;
(2)同(1)的方法，利用三角函數(shù)求出CH，QH，最后利用面積的差即可得出結論;
(3)借助(2)的結論即可得出結論;
(4)先由垂直平分線得出PM=t，再表示出CN，用PM=CN建立方程即可得出結論.
【解答】解：(1)如圖1，記EQ與AC的交點為G，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，
根據(jù)勾股定理得，BC=8，
tanB==，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB=10，AD=BC=8，
由運動知，BP=t，DQ=t，
∴PC=8﹣t，CQ=10﹣t，
∵PE⊥BC，
∴∠BPE=90°，
在Rt△BPE中，sinB=，cosB=，tanB===，
∴PE=t，
∵EQ∥BC，
∴∠PEQ=∠BPE=90°，
∴四邊形CPEG是矩形，
∴CG=PE=t，
∵EQ∥BC，
∴△CGQ∽△CAD，
∴，
∴.
∴t=;
(2)如圖2，
過點Q作QH⊥BC交BC的延長線于H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠DCH=∠B，
在Rt△CHQ中，sin∠QCH===，
∴QH=(10﹣t)，cos∠HCQ===，
∴CH=(10﹣t)，
∴PH=PC+CH=8﹣t+(10﹣t)=16﹣t，
∴S=S梯形QHPE﹣S△QPH= [(10﹣t)+t]×(16﹣t)﹣×(16﹣t)×(10﹣t)=﹣(t﹣)2+，
∵點E在線段AB上，
∴點P在線段BC上，
∴0
點Q在CD上，
∴0
∴0
即：S=﹣(t﹣)2+(0
(3)由(2)知，S=﹣(t﹣)2+(0
∴t=時，S最大=;
(4)如圖3，
過點Q作QM⊥PE于M，交AC于N，
∵點Q在線段EP的垂直平分線上，
∴PM=PE=t，
同(2)的方法得，CN=(10﹣t)，
易知，四邊形PCNM是矩形，
∴PM=CN，
∴t=(10﹣t)，
∴t=.
【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)，矩形的判定和性質，解本題的關鍵是用t表示出相關的線段.
關于九年級數(shù)學上冊期末試卷題
一、單選題(共10題;共30分)
1.把標有1~10的10個乒乓球放在一個箱子中，搖勻后，從中任意取一個，號碼為小于7的奇數(shù)的概率是( )
A. B. C. D.
2.已知圓錐側面積為10πcm2 ， 側面展開圖的圓心角為36º，圓錐的母線長為( )
A. 100cm B. 10cm C. cm D. cm
3.已知⊙O的半徑是10cm， 是120°，那么弦AB的弦心距是( )
A. 5cm B. cm C. cm D. cm
4.某中學周末有40人去體育場觀看足球賽，40張票分別為A區(qū)第2排1號到40號，小明同學從40張票中隨機抽取一張，則他抽取的座位號為10號的概率是
A. B. C. D.
5.經(jīng)過某十字路口的汽車，它可以繼續(xù)直行，也可以向左轉或向右轉.如果這三種可能性大小相同，則兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全部繼續(xù)直行的概率是
A. B. C. D.
6.如圖，在△ABC中，AB=8，AC=6，點D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一點E，使△ADE與△ABC相似，則AE的長為( )
A. B. C. 3 D. 或
7.如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB是直徑，∠BCD=120°，∠APD=30°，則∠ADP的度數(shù)為( )
A. 45° B. 40° C. 35° D. 30°
8.四位同學在研究函數(shù) (b，c是常數(shù))時，甲發(fā)現(xiàn)當 時，函數(shù)有最小值;乙發(fā)現(xiàn) 是方程 的一個根;丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為3;丁發(fā)現(xiàn)當 時， .已知這四位同學中只有一位發(fā)現(xiàn)的結論是錯誤的，則該同學是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9.若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，則S△ABC：S△DEF=( )
A. 1：3 B. 1：9 C. 1： D. 1：1.5
10.已知如圖，圓錐的母線長6cm，底面半徑是3cm，在B處有一只螞蟻，在AC中點P處有一顆米粒，螞蟻從B爬到P處的最短距離是( )
A. 3 cm B. 3 cm C. 9cm D. 6cm
二、填空題(共10題;共30分)
11.將拋物線y=x2-2向上平移一個單位后，得一新的拋物線，那么新的拋物線的表達式是________.
12.質地均勻的正四面體骰子的四個面上分別寫有數(shù)字：2，3，4，5.投擲這個正四面體兩次，則第一次底面上的數(shù)字能夠整除第二次底面上的數(shù)字的概率是________
13.若A( ， )，B( ， )，C(1， )為二次函數(shù)y= +4x﹣5的圖象上的三點，則 、 、 的大小關系是________.
14.(2015•上海)在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，點A在⊙B上，如果⊙D與⊙B相交，且點B在⊙D內，那么⊙D的半徑長可以等于________ .(只需寫出一個符合要求的數(shù))
15.如圖，在正方形ABCD中，邊AD繞點A順時針旋轉角度m(0°
16.已知拋物線C1：y=﹣x2+4x﹣3，把拋物線C1先向右平移3個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線C2 ，
將拋物線C1和拋物線C2這兩個圖象在x軸及其上方的部分記作圖象M.若直線y=kx+ 與圖象M至少有2個不同
的交點，則k的取值范圍是________.
17.如圖，點A，B，C在⊙O上，CO的延長線交AB于點D，∠A=50°，∠B=30°，則∠ADC的度數(shù)為________.
18.如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么 的值等于________.
19.如圖，△ABC內接于⊙O，若∠OAB=32°，則∠C=________°.
20.如圖，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，點F是AB的中點，AD與FE，BE分別交于點G、H，∠CBE=∠BAD.有下列結論：①FD=FE;②AH=2CD;③BC•AD= AE2;④S△ABC=2S△ADF . 其中正確結論的序號是________.(把你認為正確結論的序號都填上)
三、解答題(共8題;共60分)
21.如圖⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在這個三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半徑.
22.某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內可以售出400件.根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件.問如何提高售價,才能在半個月內獲得最大利潤?
23.一個口袋中有黑球10個，白球若干個，小明從袋中隨機一次摸出10只球，記下其中黑球的數(shù)目，再把它們放回，攪均勻后重復上述過程20次，發(fā)現(xiàn)共有黑球18個，由此你能估計出袋中的白球是多少個嗎?
24.已知一拋物線與拋物線y=- x2+3形狀相同，開口方向相反，頂點坐標是(-5，0)，根據(jù)以上特點，試寫出該拋物線的解析式.
25.如圖，在△ABC中，EF∥CD ， DE∥BC . 求證：AF：FD=AD：DB .
26.如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，平移拋物線y=x2﹣2x+3，使平移后的拋物線經(jīng)過點A(﹣2，0)，且與y軸交于點B，同時滿足以A，O，B為頂點的三角形是等腰直角三角形，求平移后的拋物線的解析式.
27.如圖,已知□ABCD的面積為S，點P、Q時是▱ABCD對角線BD的三等分點，延長AQ、AP，分別交BC，CD于點E，F(xiàn)，連結EF。甲，乙兩位同學對條件進行分析后，甲得到結論①：“E是BC中點”.乙得到結論②：“四邊形QEFP的面積為 S”。請判斷甲乙兩位同學的結論是否正確，并說明理由.
28.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，點P在線段AB上，P從點A開始沿AB邊以1厘米/秒的速度向點B移動.點E為線段BC的中點，點Q從E點開始，沿EC以1厘米/秒的速度向點C移動.如果P、Q同時分別從A、E出發(fā)，寫出出發(fā)時間t與△BPQ的面積S的函數(shù)關系式，求出t的取值范圍.
答案解析部分
一、單選題
1.【答案】A
【考點】概率公式
【解析】【解答】∵所有機會均等，共有10種結果，而號碼小于7的奇數(shù)有1，3，5共3種情況，
∴號碼為小于7的奇數(shù)的概率為：.
故答案為：A.
【分析】根據(jù)概率公式即可求出答案.
2.【答案】B
【考點】扇形面積的計算，圓錐的計算
【解析】【分析】圓錐側面是一個扇形，扇形的面積公式，代入求值即可。
【解答】設母線長為r，圓錐的側面積 =10π，
∴R=10cm.
故選B.
【點評】本題利用了扇形的面積公式求解。
3.【答案】A
【考點】垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系
【解析】【解答】∵OC⊥AB，∴AC=CB.
在 和 中，
AC=BC，OA=OB
所以弦AB的弦心距是5cm.
故答案為：A.
【分析】由垂徑定理可得AC=BC，用斜邊直角邊定理可證△OAC≌△OBC.根據(jù)圓心角、弦、弧之間的關系定理可得∠AOB=120°，所以可得∠AOC=∠BOC=，由直角三角形的性質可得OC=OA即可求解。
4.【答案】A
【考點】概率公式
【解析】【分析】小明同學從40張票中隨機抽取一張為獨立事件，故抽到任何一個號的概率都會.
【點評】本題難度較低，主要考查學生對隨機概率和知識點的掌握,判斷每個抽取為獨立事件為解題關鍵.
5.【答案】A
【考點】列表法與樹狀圖法，概率公式
【解析】
【分析】列舉出所有情況，看兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全部繼續(xù)直行的情況占總情況的多少即可.
【解答】列表得：
∴一共有9種情況，兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全部繼續(xù)直行的有一種，
∴兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全部繼續(xù)直行的概率是
， 故選A.
【點評】用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比
6.【答案】D
【考點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A是公共角，
∴當 即 時，△AED∽△ABC，
解得：AE=;
當 即時，△ADE∽△ABC，
解得：AE= ，
∴AE的長為：或 .
故選D.
【分析】由∠A是公共角，分別從當 即 時，△AED∽△ABC與當 即時，△ADE∽△ABC，去分析求解即可求得答案.
7.【答案】D
【考點】圓周角定理，圓內接四邊形的性質
【解析】【解答】解：∵⊙O的內接四邊形ABCD，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∵∠BCD=120°，
∴∠DAB=60°，
∴∠PAD=120°，
又∵∠APD=30°，
∴∠ADP=180°﹣120°﹣30°=30°.
故答案為：D.
【分析】根據(jù)圓內接四邊形的性質，⊙O的內接四邊形ABCD中，∠BCD=120°，得到∠DAB的值，再根據(jù)三角形內角和定理得到∠ADP的度數(shù).
8.【答案】B
【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的最值
【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：拋物線的頂點坐標為:(1,3)且圖像經(jīng)過(2，4)
設拋物線的解析式為：y=a(x-1)2+3
∴a+3=4
解之：a=1
∴拋物線的解析式為：y=(x-1)2+3=x2-2x+4
當x=-1時，y=7，
∴乙說法錯誤
故答案為：B
【分析】根據(jù)甲和丙的說法，可知拋物線的頂點坐標，再根據(jù)丁的說法，可知拋物線經(jīng)過點(2,4)，因此設函數(shù)解析式為頂點式，就可求出函數(shù)解析式，再對乙的說法作出判斷，即可得出答案。
9.【答案】B
【考點】相似三角形的性質
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，
∴S△ABC：S△DEF=1：9.
故選B.
【分析】由△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案.
10.【答案】B
【考點】勾股定理，弧長的計算，圓錐的計算
【解析】【解答】解：∵圓錐的側面展開圖是一個扇形，設該扇形的圓心角為n，
則： = ×2×3π，其中r=3，
∴n=180°，如圖所示：
由題意可知，AB⊥AC，且點P為AC的中點，
在Rt△ABP中，AB=6，AP=3，
∴BP= =3 cm，
故螞蟻沿線段BP爬行，路程最短，最短的路程是3 cm.
【分析】圓錐的側面展開圖是一個扇形，根據(jù)弧長公式求出展開扇形的圓心角的度數(shù)，由題意可知AB⊥AC，且點P為AC的中點，在Rt△ABP中，運用勾股定理，求出BP的長，即可求出螞蟻從B爬到P處的最短距離。
二、填空題
11.【答案】y=x2-1
【考點】二次函數(shù)圖象的幾何變換
【解析】【解答】由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=x2-2向上平移一個單位后，得以新的拋物線，那么新的拋物線的表達式是，y=x2-2+1，即y=x2-1.【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律“左加右減上加下減”即可求解。
12.【答案】
【考點】列表法與樹狀圖法，概率公式
【解析】【解答】由樹狀圖
可知共有4×4=16種可能，第一次底面上的數(shù)字能夠整除第二次底面上的數(shù)字的有5種，所以概率是 .
故答案為： .
【分析】列表法與樹狀圖法可以不重不漏的列出所有等可能結果是16種，再找出符合第一次底面上的數(shù)字能夠整除第二次底面上的數(shù)字的結果有5種，概率=可能結果數(shù)比所有情況數(shù)，即是P=
13.【答案】 < <
【考點】二次函數(shù)的性質
【解析】【解答】將二次函數(shù)y= +4x﹣5配方得 ，所以拋物線開口向上，對稱軸為x=﹣2，因為A、B、C三點中，B點離對稱軸最近，C點離對稱軸最遠，所以 < < .
故答案為： < < .
【分析】先將拋物線配成頂點式，，然后根據(jù)拋物線的開口向上，對稱軸判斷出A、B、C三點中，B點離對稱軸最近，C點離對稱軸最遠，從而得出 y2< y1< y3 .
14.【答案】14(答案不唯一)
【考點】點與圓的位置關系，圓與圓的位置關系
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，
∴AC=BD=13，
∵點A在⊙B上，
∴⊙B的半徑為5，
∵如果⊙D與⊙B相交，
∴⊙D的半徑R滿足8
∵點B在⊙D內，
∴R>13，
∴13
∴14符合要求，
故答案為：14(答案不唯一).
【分析】首先求得矩形的對角線的長，然后根據(jù)點A在⊙B上得到⊙B的半徑為5，再根據(jù)⊙D與⊙B相交，得到⊙D的半徑R滿足8
15.【答案】30°或60°或150°或300°
【考點】旋轉的性質
【解析】【解答】解：如圖1，當m=30°時，
BP=BC，△BPC是等腰三角形;
如圖2，當m=60°時，
PB=PC，△BPC是等腰三角形;
如圖3，當m=150°時，
PB=BC，△BPC是等腰三角形;
如圖4，當m=300°時，
PB=PC，△BPC是等腰三角形;
綜上所述，m的值為30°或60°或150°或300°，
故答案為30°或60°或150°或300°.
【分析】分別畫出m=30°或60°或150°或300°時的圖形，根據(jù)圖形即可得到答案.
16.【答案】0≤k<
【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換
【解析】【解答】解：y=﹣x2+4x﹣3=﹣(x﹣2)2+1，
∴頂點(2，1)
則將拋物線y=﹣x2+4x﹣3先向右平移3個單位長度，再向上平移3個單位長度，
得到的新的拋物線的解析式為：y=(x﹣5)2+4.
∴頂點(5，4)，
把(2，1)代入y=kx+ (k≥0)得，1=2k+ ，
解得k= ，
把(5，4)代入y=kx+ (k≥0)得，4=5k+ ，
解得k= ，
∴直線y=kx+ (k≥0)與圖象M至少有2個不同的交點，則k的取值范圍是0≤k< .
故答案為：0≤k< .
【分析】首先配方得出二次函數(shù)頂點式，求得拋物線C1的頂點坐標，進而利用二次函數(shù)平移規(guī)律得出拋物線C2 ， 求得頂點坐標，把兩點頂點坐標代入即可求得.
17.【答案】110°
【考點】圓周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，
∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，
故答案為：110°.
【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=2∠A=100°，再由外角性質得∠BDC=70°，再鄰補角的定義即可求得∠ADC的度數(shù).
18.【答案】
【考點】平行線分線段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ ，故答案為： .【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線所截，截得的對應線段的長度成比例;計算即可.
19.【答案】58
【考點】圓周角定理
【解析】【解答】解：如圖，連接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°.
答案為58.
【分析】要運用圓周角定理，需構造出弧所對的圓心角，因此需連接半徑OB，再利用等腰三角形的內角和，求出∠AOB，進而求出∠C=58°.
20.【答案】①②③
【考點】三角形的面積，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線，相似三角形的判定與性質
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵點F是AB的中點，
∴FD= AB，
∵點F是AB的中點，
∴FE= AB，
∴FD=FE，①正確;
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE。
在△AEH和△BEC中，
∵∠AEH=∠CEB,
AE=BE,
∠EAH=∠CBE，
∴△AEH≌△BEC(ASA)，
∴AH=BC=2CD，②正確;
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴ ，即BC·AD=AB·BE，
∵ AE2=AB·AE=AB·BE，
∴BC·AD= AE2;③正確;
∵F是AB的中點，BD=CD，∴
S△ABC=2S△ABD=4S△ADF . ④錯誤;
故答案為：①②③.
【分析】①△ABE和△ABD都是直角三角形，且點F是斜邊AB上的中點，由斜邊上的中線長是斜邊的一半可知;
?、谝C明AH=2CD，則可猜想BC=2CD，AH=BC;要證明BC=2CD，結合AD⊥BC，則需要證明AB=AC;要證明AH=BC，則需要證明△AEH≌△BEC;
?、塾葾E2=AB·AE=AB·BE，則BC·AD=AE2 ， 可轉化為BC·AD=AB·BE，則 ， 那么只需證明△ABD～△BCE即可;
④由三角形的中線平分三角形的面積，依此推理即可。
三、解答題
21.【答案】解：如圖，連接OB.
∵AD是△ABC的高.
∴BD= BC=6
在Rt△ABD中，AD= = =8.
設圓的半徑是R.
則OD=8﹣R.
在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理可以得到：R2=36+(8﹣R)2
解得：R= .
【考點】勾股定理，垂徑定理
【解析】【分析】連接OB，根據(jù)垂經(jīng)定理求出BD的長，在Rt△ABD中由勾股定理求得AD=8，設圓的半徑是R，則OD=8-R，在Rt△OBD中由勾股定理可求得R的值.解答此題的關鍵是作出輔助線OB.注意：垂徑定理和勾股定理常常在一起中應用.
22.【答案】解：設銷售單價為x元，銷售利潤為y元.
根據(jù)題意，得y=(x-20)[400-20(x-30)]=(x-20)(1000-20x)=-20x2+1400x-20000
當x= =35時，才能在半月內獲得最大利潤.
【考點】二次函數(shù)的應用
【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的最值，根據(jù)總利潤=每件日用品的利潤×可賣出的件數(shù)，即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關系式，利用公式法可得二次函數(shù)的最值.
23.【答案】解：黑球概率近似等于頻率，設白球有m個，則解得m=101.11
故袋中的白球大約有101個.
【考點】利用頻率估計概率
【解析】【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，根據(jù)題中條件求出黑球的頻率，再近似估計白球數(shù)量.
24.【答案】解：∵頂點坐標是(-5，0)，
∴可設函數(shù)解析式為y=a(x+5)2 ，
∵所求的拋物線與y=- x2+3形狀相同，開口方向相反，
∴a= ，
∴所求拋物線解析式為y= (x+5)2
【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
【解析】【分析】根據(jù)頂點坐標設出拋物線的頂點式，再根據(jù)拋物線的圖像與系數(shù)的關系，由拋物線與拋物線y=- x2+3形狀相同，開口方向相反，故得出所求拋物線二次項系數(shù)的值，從而得出答案。
25.【答案】證明：∵EF∥CD， DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ，
即AF：FD=AD：DB.
【考點】平行線分線段成比例
【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出 ， ，推出 即可.
26.【答案】解：∵點B在y軸上，且△AOB是等腰直角三角形，A(﹣2，0)， ∴點B的坐標為(0，2)或(0，﹣2)，
根據(jù)題意設平移后拋物線解析式為y=x2+bx+c，
將(﹣2，0)、(0，2)代入得：
，
解得： ，
∴此時拋物線解析式為y=x2+3x+2;
將(﹣2，0)、(0，﹣2)代入得：
，
解得： ，
∴此時拋物線解析式為y=x2+x﹣2，
綜上，平移后拋物線解析式為y=x2+3x+2或y=x2+x﹣2
【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換，等腰直角三角形
【解析】【分析】利用A點坐標和等腰三角形的性質可求得B點坐標，設出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標代入可求得平移后的拋物線的解析式.
27.【答案】解:甲和乙的結論都成立，理由如下：
?、佟咴谄叫兴倪呅蜛BCD中，AD∥BC，
∴△BEQ∽△DAQ，
又∵點P、Q是線段BD的三等分點，
∴BE：AD=BQ：DQ=1：2，
∵AD=BC，
∴BE：BC=1：2，
∴點E是BC的中點，即結論①正確;
?、诤廷偻砜傻命cF是CD的中點，
∴EF∥BD，EF= BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴S△CEF= S△CBD= S平行四邊形ABCD= S，
∵S四邊形AECF=S△ACE+S△ACF= S平行四邊形ABCD= S，
∴S△AEF=S四邊形AECF-S△CEF= S，
∵EF∥BD，
∴△AQP∽△AEF，
又∵EF= BD，PQ= BD，
∴QP：EF=2：3，
∴S△AQP= S△AEF= ，
∴S四邊形QEFP=S△AEF-S△AQP= S- = S，即結論②正確.
綜上所述，甲、乙兩位同學的結論都正確.
【考點】相似三角形的判定與性質
【解析】【分析】 ① 利用平行四邊形的性質及相似三角形的判定定理，易證△BEQ∽△DAQ，再由點P、Q是線段BD的三等分點，可得BE：AD=BQ：DQ=1：2，繼而可證得E是BC中點;易證F是CD的中點，利用三角形的中位線定理，可得出EF∥BD，EF= BD，再證明△CEF∽△CBD，利用相似三角形的性質，可推出S△CEF= S，S△AEF= S，然后再證明S△AQP= s，根據(jù)S四邊形QEFP=S△AEF-S△AQP ， 可求出結果，可對 ②作出判斷，即可得出結論。
28.【答案】解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t， ∴S= PB•BQ= PB•(BE+EQ)
= (6﹣t)(6+t)
=﹣ t2+18，
∴S=﹣ t2+18(0≤t<6)
【考點】根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式
【解析】【分析】△BPQ的面積= BP×BQ，把相關數(shù)值代入即可求解，注意得到的相關線段為非負數(shù)即可.
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