數(shù)學(xué)與三角函數(shù)

　　三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的一個(gè)重要部分,此內(nèi)容既有先前函數(shù)知識(shí)的延伸,又有三角知識(shí)的擴(kuò)展。下面就和學(xué)習(xí)啦小編一起去學(xué)習(xí)三角函數(shù)吧。

　　數(shù)學(xué)與三角函數(shù)的定義

　　常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。在航海學(xué)、測(cè)繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中，還會(huì)用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)、半正矢函數(shù)、半余矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過幾何直觀或者計(jì)算得出，稱為三角恒等式。

　　三角函數(shù)十組誘導(dǎo)公式

　　公式一

　　sin(2kπ+α)=sin α

　　cos(2kπ+α)=cos α

　　tan(2kπ+α)=tan α

　　cot(2kπ+α)=cot α

　　sec(2kπ+α)=sec α

　　csc(2kπ+α)=csc α

　　公式二

　　sin(π+α)=-sin α

　　cos(π+α)=-cos α

　　tan(π+α)=tan α

　　cot(π+α)=cot α

　　sec(π+α)=-sec α

　　csc(π+α)=-csc α

　　公式三

　　sin(-α)=-sin α

　　cos(-α)=cos α

　　tan(-α)=-tan α

　　cot(-α)=-cot α

　　sec(-α)=sec α

　　csc(-α)=-csc α

　　公式四

　　sin(π-α)=sin α

　　cos(π-α)=-cos α

　　tan(π-α)=-tan α

　　cot(π-α)=-cot α

　　sec(π-α)=-sec α

　　csc(π-α)=csc α

　　公式五

　　sin(α-π)=-sin α

　　cos(α-π)=-cos α

　　tan(α-π)=tan α

　　cot(α-π)=cot α

　　sec(α-π)=-sec α

　　csc(α-π)=-csc α

　　公式六

　　sin(2π-α)=-sin α

　　cos(2π-α)=cos α

　　tan(2π-α)=-tan α

　　cot(2π-α)=-cot α

　　sec(2π-α)=sec α

　　csc(2π-α)=-csc α

　　公式七

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=−sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　cot(π/2+α)=-tanα

　　sec(π/2+α)=-cscα

　　csc(π/2+α)=secα

　　公式八

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　tan(π/2-α)=cotα

　　cot(π/2-α)=tanα

　　sec(π/2-α)=cscα

　　csc(π/2-α)=secα

　　公式九

　　sin(3π/2+α)=-cosα

　　cos(3π/2+α)=sinα

　　tan(3π/2+α)=-cotα

　　cot(3π/2+α)=-tanα

　　sec(3π/2+α)=cscα

　　csc(3π/2+α)=-secα

　　公式十

　　sin(3π/2-α)=-cosα

　　cos(3π/2-α)=-sinα

　　tan(3π/2-α)=cotα

　　cot(3π/2-α)=tanα

　　sec(3π/2-α)=-cscα

　　csc(3π/2-α)=-secα

　　三角函數(shù)相關(guān)定理

　　正弦定理

　　對(duì)于邊長為a,b和c而相應(yīng)角為A,B和C的三角形，有：

　　sinA / a = sinB / b = sinC/c

　　也可表示為：

　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　變形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

　　其中R是三角形的外接圓半徑。

　　它可以通過把三角形分為兩個(gè)直角三角形并使用上述正弦的定義來證明。在這個(gè)定理中出現(xiàn)的公共數(shù) (sinA)/a是通過A,B和C三點(diǎn)的圓的直徑的倒數(shù)。正弦定理用于在一個(gè)三角形中(1)已知兩個(gè)角和一個(gè)邊求未知邊和角(2)已知兩邊及其一邊的對(duì)角求其他角和邊的問題。這是三角測(cè)量中常見情況。

　　三角函數(shù)正弦定理可用于求得三角形的面積：

　　S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

　　余弦定理

　　對(duì)于邊長為a、b、c而相應(yīng)角為A、B、C的三角形，有：

　　a² = b² + c²- 2bc·cosA

　　b² = a² + c² - 2ac·cosB

　　c² = a² + b² - 2ab·cosC

　　也可表示為：

　　cosC=(a² +b² -c²)/ 2ab

　　cosB=(a² +c² -b²)/ 2ac

　　cosA=(c² +b² -a²)/ 2bc

　　這個(gè)定理也可以通過把三角形分為兩個(gè)直角三角形來證明。余弦定理用于在一個(gè)三角形的兩個(gè)邊和一個(gè)角已知時(shí)確定未知的數(shù)據(jù)。

　　如果這個(gè)角不是兩條邊的夾角，那么三角形可能不是唯一的(邊-邊-角)。要小心余弦定理的這種歧義情況。

　　物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會(huì)用到相關(guān)知識(shí)。

　　延伸定理：第一余弦定理(任意三角形射影定理)

　　設(shè)△ABC的三邊是a、b、c，它們所對(duì)的角分別是A、B、C，則有

　　a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A

　　正切定理

　　對(duì)于邊長為a,b和c而相應(yīng)角為A,B和C的三角形，有：

　　(a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]

　　廣義射影定理

　　三角形中任意一邊等于其他兩邊以及對(duì)應(yīng)角余弦的交叉乘積的和，即a=c cosB + b cosC

　　三角恒等式

　　對(duì)于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　證明：

　　已知(A+B)=(π-C)

　　所以tan(A+B)=tan(π-C)

　　則(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

　　整理可得

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　類似地，我們同樣也可以求證:當(dāng)α+β+γ=nπ(n∈Z)時(shí)，總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ。