上海市初二期末考試數(shù)學(xué)試卷答案解析
上海市初二期末考試數(shù)學(xué)試卷答案解析
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上海市初二期末考試數(shù)學(xué)試卷答案解析一、選擇題
(本大題共6題，每題3分，滿分18分)
1.下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D. =π﹣4
【考點】二次根式的混合運算.
【分析】根據(jù)二次根式的加減法對A進行判斷;根據(jù)二次根式的除法法則對B進行判斷;根據(jù)二次根式的性質(zhì)對C、D進行判斷.
【解答】解：A、 與﹣ 不能合并，所以A選項錯誤;
B、原式= ，所以B選項正確;
C、原式=|x|，所以C選項錯誤;
D、原式=|π﹣4|=4﹣π，所以D選項錯誤.
故選B.
2.方程x2﹣3x+7=0的根的情況是( )
A.沒有實數(shù)根
B.有無數(shù)個相等或不相等的實數(shù)根
C.有兩個不相等的實數(shù)根
D.有兩個相等的實數(shù)根
【考點】根的判別式.
【分析】把a=1，b=﹣3，c=7代入△=b2﹣4ac進行計算，然后根據(jù)計算結(jié)果判斷方程根的情況.
【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=7，
∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×7=﹣19<0，
∴方程沒有實數(shù)根.
故選A.
3.“等腰三角形兩底角相等”的逆命題是( )
A.等腰三角形“三線合一”
B.底邊上高和中線重合的三角形等腰
C.兩個角互余的三角形是等腰三角形
D.有兩個角相等的三角形是等腰三角形
【考點】命題與定理.
【分析】直接交換原命題的題設(shè)和結(jié)論即可得到正確的選項.
【解答】解：“等腰三角形兩底角相等”的逆命題是有兩個角相等的三角形是等腰三角形，故選D.
4.若點P(3，2﹣m)在函數(shù)y= 的圖象上，則點P一定在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再由點P橫坐標的值即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵函數(shù)y= 中，k=1>0，
∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一三象限.
∵點P(3，2﹣m)中3>0，
∴點P一定在第一象限.
故選A.
5.如圖，在平面直角坐標系中，直線l1對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=2x，將直線l1向左平移，使之分別與x、y軸交于點A、B，若OA=2，則線段OB的長為( )
A.3 B.4 C.2 D.2
【考點】一次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】先寫出A點坐標，則利用兩直線平行的問題，設(shè)直線l2對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=2x+b，再把A點坐標代入求出b的值，則可確定B點坐標，于是可得到OB的長.
【解答】解：∵OA=2，
∴A(﹣2，0)，
∵l1∥l2，直線l1對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=2x，
∴直線l2對應(yīng)的函數(shù)表達式可設(shè)為y=2x+b，
把A(﹣2，0)代入得﹣4+b=0，解得b=4，
∴直線l2對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=2x+4，
∴B(0，4)，
∴OB=4.
故選B
6.命題甲：由正比例函數(shù)圖象上任意一點的坐標可以確定該正比例函數(shù)的解析式;
命題乙：大邊上的中線等于大邊一半的三角形是直角三角形.
則下列判斷正確的是( )
A.兩命題都正確 B.兩命題都不正確
C.甲不正確乙正確 D.甲正確乙不正確
【考點】命題與定理.
【分析】分別判斷兩個命題后即可確定正確的選項.
【解答】解：命題甲：由正比例函數(shù)圖象上任意一點(除原點外)的坐標可以確定該正比例函數(shù)的解析式，不正確;
命題乙：大邊上的中線等于大邊一半的三角形是直角三角形，正確，
故選C.
上海市初二期末考試數(shù)學(xué)試卷答案解析二、填空題
(本大題共12題，每題3分，滿分36分)
7.化簡： = x﹣1 .
【考點】二次根式的乘除法.
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案.
【解答】解： =x﹣1.
故答案為：x﹣1.
8.方程2(x+3)(x+4)=0的根是 x=﹣3，x=﹣4 .
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】方程利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解.
【解答】解：方程2(x+3)(x+4)=0，
可得x+3=0或x+4=0，
解得：x=﹣3，x=﹣4.
故答案為：x=﹣3，x=﹣4.
9.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2x2﹣4x﹣3= 2(x﹣ )(x﹣ ) .
【考點】實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.
【分析】根公式法據(jù)解方程ax2+bx+c=0，可得方程的解，根據(jù)因式分解法可得ax2+bx+c=a(x﹣ )(x﹣ ).
【解答】解：由2x2﹣4x﹣3=0，得
x= .
原式=2(x2﹣2x﹣ )=2(x﹣ )(x﹣ )，
故答案為：2(x﹣ )(x﹣ ).
10.隨著市場多重刺激，寶山的學(xué)區(qū)房一掃連月低迷，終于走上了連續(xù)上漲的軌道，某小區(qū)學(xué)區(qū)房去年第二季度每平方米a元，若平均每季度上漲6%，則去年第四季度的價格為每平方米 a(1+6%)2 元(用含a的代數(shù)式表示).
【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.
【分析】由題意可知：去年第三季度的價格為第二季度的(1+6%)，即a(1+6%)元，去年第四季度的價格為第三季度的(1+6%)，即a(1+6%)2元.
【解答】解：∵某小區(qū)學(xué)區(qū)房去年第二季度每平方米a元，若平均每季度上漲6%，
∴去年第三季度的價格為a(1+6%)元，去年第四季度的價格為a(1+6%)2元.
故答案為a(1+6%)2.
11.函數(shù) 的定義域是 x取全體實數(shù). .
【考點】函數(shù)自變量的取值范圍.
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，被開方數(shù)大于或等于0，可以求出x的范圍.
【解答】解：根據(jù)題意得：x2+1≥0，
解得：x取全體實數(shù).
故答案為x取全體實數(shù).
12.已知函數(shù)f(x)= ，那么f(3)= 2﹣ .
【考點】函數(shù)值.
【分析】直接利用已知將x=3代入原式，進而利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案.
【解答】解：∵函數(shù)f(x)= ，
∴f(3)= = =2﹣ .
故答案為：2﹣ .
13.若A(1，a)、B(2，3)是同一個正比例函數(shù)圖象上的兩點，則a < 3.
【考點】一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】運用待定系數(shù)法求得正比例函數(shù)解析式，進一步求得a的值，從而求解.
【解答】解：設(shè)解析式為：y=kx，
將點(2，3)代入可得：2k=3
解得：k=1.5，
故函數(shù)解析式為：y=1.5x，
將點(1，a)代入可得：a=1.5，即a<3.
故答案為：<.
14.在課堂小結(jié)描述每一個反比例函數(shù)的性質(zhì)時，甲同學(xué)說：“從這個反比例函數(shù)圖象上任意一點向x軸、y軸作垂線，與兩坐標軸所圍成的矩形面積為2016.”乙同學(xué)說：“這個反比例函數(shù)在相同的象限內(nèi)，y隨著x增大而增大.”根據(jù)這兩位同學(xué)所描述，此反比例函數(shù)的解析式是 .
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;反比例函數(shù)的性質(zhì).
【分析】先設(shè)反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)= ，根據(jù)甲同學(xué)說的可知k=±2016，根據(jù)乙同學(xué)說的可知k<0，綜合可得k=﹣2016，即得到反比例函數(shù)的解析式.
【解答】解：從這個反比例函數(shù)圖象上任意一點向x軸、y軸作垂線，與兩坐標軸所圍成的矩形面積為2016，
|k|=|xy|=2016，
k=2016或k=﹣2016，
∵這個反比例函數(shù)在相同的象限內(nèi)，y隨著x增大而增大，
∴k=﹣2016，
故反比例函數(shù)的解析式是y= .
故答案為： .
15.以線段AB為底邊的等腰三角形的頂點的軌跡是 線段AB的垂直平分線(與AB的交點除外) .
【考點】軌跡;等腰三角形的性質(zhì).
【分析】滿足△ABC以線段AB為底邊且CA=CB，根據(jù)線段的垂直平分線判定得到點C在線段AB的垂直平分線上，除去與AB的交點(交點不滿足三角形的條件).
【解答】解：∵△ABC以線段AB為底邊，CA=CB，
∴點C在線段AB的垂直平分線上，除去與AB的交點(交點不滿足三角形的條件)，
∴以線段AB為底邊的等腰三角形的頂點C的軌跡是 線段AB的垂直平分線，不包括AB的中點.
故答案為線段AB的垂直平分線，不包括AB的中點.
16.如圖已知，∠BAC=30°，D為∠BAC平分線上一點，DF∥AC交AB于F，DE⊥AC于E，若DE=2，則DF= 4 .
【考點】角平分線的性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【分析】過點D作DG⊥AB于G，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DG=DE，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠DFG=∠BAC=30°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求解即可.
【解答】解：如圖，過點D作DG⊥AB于G，
∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AC
∴DG=DE，
∵DF∥AC，
∴∠DFG=∠BAC=30°，
在Rt△DFG中，DF=2DG=2×2=4.
故答案為：4.
17.已知點A、B、C的坐標分別A(1，5)、B(1，0)、C(5，0).若點P在∠ABC的平分線上，且PA=5，則點P的坐標為 (6，5)或(1，0) .
【考點】坐標與圖形性質(zhì).
【分析】先根據(jù)A、B、C三點的坐標判斷∠ABC的位置與大小，再根據(jù)點P在∠ABC的平分線上，且PA=5，判斷點P的位置，并寫出點P的坐標.
【解答】解：∵A(1，5)、B(1，0)、C(5，0)
∴AB=5，且AB⊥BC
∴∠ABC=90°
如圖，以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交∠ABC的平分線于兩點
∵點P在∠ABC的平分線上，且PA=5
∴當點P在點B處時，P1的坐標為(1，0)
當點P在第一象限內(nèi)時，由△ABP2是等腰直角三角形，可知P2的坐標為(6，5)
故答案為：(6，5)或(1，0)
18.如圖，點P在邊長為1的正方形ABCD邊AD上，連接PB.過點B作一條射線與邊DC的延長線交于點Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是邊AB延長線上的點，連接PQ.若PQ2=PB2+PD2+1，則△PAB的面積為 .
【考點】正方形的性質(zhì);勾股定理.
【分析】先由∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB與△QCB均為直角三角形，再證得△PAB≌△QCB，可得QC=PA，設(shè)正方形的邊長AB=a，PA=x，利用方程思想和勾股定理可得ax的值，據(jù)此可得△PAB的面積.
【解答】解：∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°，
∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°，
∵∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PBA=∠QBC，
在Rt△PAB和Rt△QCB中，
，
∴△PAB≌△QCB(ASA)，
∴QC=PA，
設(shè)正方形的邊長AB=a，PA=x，則QC=x，
∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD﹣PA=a﹣x，
在Rt△PAB中，PB2=PA2+AB2=x2+a2，
∵PQ2=PB2+PD2+1，
∴(a﹣x)2+(a+x)2=x2+a2+(a﹣x)2+1，
解得：2ax=1，
∴ax= ，
∵△PAB的面積S= PA•PB= ax= × = .
故答案為： .
上海市初二期末考試數(shù)學(xué)試卷答案解析三、解答題
(本大題共8題，其中19---23每題5分，第24---26題每題7分滿分46分)
19.計算： .
【考點】二次根式的混合運算.
【分析】先利用二次根式的乘法法則運算，然后把各二次根式化簡后合并即可.
【解答】解：原式= + ﹣
=3+ ﹣
=3+ .
20.用適當方法解方程：x2+6x+3=0.
【考點】解一元二次方程-配方法.
【分析】在本題中，把常數(shù)項3移項后，應(yīng)該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)6的一半的平方.
【解答】解：x2+6x+3=0，
x2+6x=﹣3，
x2+6x+9=6，
(x+3)2=6，
x+3=± ，
x1=﹣3﹣ ，x1=﹣3+ .
21.已知正比例函數(shù)y=5x與反比例函數(shù) 交于A、B兩點，其中A的橫坐標為1.求A、B的坐標與反比例函數(shù)的解析式.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】先把x=1代入正比例函數(shù)y=5x求得點A坐標，再根據(jù)對稱性得出點B坐標，從而得出反比例函數(shù)的解析式.
【解答】解：根據(jù)題意易知A(1，5)，
將A(1，5)代入 ，得k=5，
∴反比例函數(shù)的解析式為 ，
由正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點對稱易知B(﹣1，﹣5).
22.某工地利用一面16米長的墻和簡易板材圍一個面積為140平方米的長方形臨時堆場，已知和墻平行的一邊要開一個寬為2米的門，除留作門以外部分的板材總長度為32米，求這個長方形臨時堆場的尺寸.
【考點】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)這個長方形臨時堆場垂直于墻面的一邊為x米，然后可得平行于墻面的一邊為(32﹣2x+2)米，然后利用其面積為140列出方程求解即可.
【解答】解：如圖，設(shè)這個長方形臨時堆場垂直于墻面的一邊為x米，則平行于墻面的一邊為(32﹣2x+2)米，
根據(jù)題意有，x(34﹣2x)=140，
解得x=7或x=10，
其中x=7時，34﹣2x=20>16，
所以x=10.
答：這個長方形垂直于墻面的一邊為10米，平行于墻面的一邊為14米.
23.已知在同一坐標系中，正比例函數(shù)y=kx(其中k≠0)，反比例函數(shù) (其中t≠0)的圖象沒有交點，試判斷關(guān)于x的方程x2﹣ax+kt=0的根的情況并說明理由.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題;根的判別式.
【分析】根據(jù)題意首先判斷出kt<0，再判斷△的值的情形即可解決問題.
【解答】解：∵在同一坐標系中，y=kx(其中k≠0)和 (其中t≠0)的圖象沒有交點，
∴kt<0，
∵關(guān)于x的方程x2﹣ax+kt=0的根的判別式△=a2﹣4kt，
∴△>0，
∴關(guān)于x的方程x2﹣ax+kt=0有兩個不相等的實數(shù)根.
24.如圖，在△ABC中，BD=2AC，CD⊥BC，E是BD的中點，求證：∠A=2∠B.
【考點】直角三角形斜邊上的中線.
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE=BE= BD，根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠BCE，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CED=2∠B，然后求出AC=CE，根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠CED.
【解答】證明：∵CD⊥BC，E是BD的中點，
∴CE=BE= BD，
∴∠B=∠BCE，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠CED=∠B+∠BCE=2∠B，
∵BD=2AC，
∴AC= BD，
∴AC=CE，
∴∠CED=∠A，
∴∠A=2∠B.
25.步彥京同學(xué)在前階段復(fù)習(xí)中突然發(fā)現(xiàn)“定理”：凡三角形都是等腰三角形.
下面是步彥京同學(xué)的證明：
如圖，設(shè)△ABC中∠A的平分線與邊BC的垂直平分線相交于D，M是邊BC垂直平分線的垂足.聯(lián)結(jié)DB、DC.又過D作DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足.由角平分線定理易知DE=DF，又易證△ADE≌△ADF從而得到AE=AF，同時由垂直平分線性質(zhì)得DB=DC，然后再證明直角△BED≌直角△CFD，從而得到BE=CF，于是由等量公理得AE+BE=AF+CF，即AB=AC.因此凡三角形都是等腰三角形.
由此步彥京百思不得其解：“難道我們教材上的幾何內(nèi)容錯了?學(xué)習(xí)如此低級錯誤的內(nèi)容豈不誤人子弟?”同學(xué)：根據(jù)你所掌握的知識，你認為究竟是教材內(nèi)容錯了，還是步彥京同學(xué)錯了?為什么?
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】步彥京同學(xué)給出的示意圖是錯誤的，正確的圖形如右，即角平分線與垂直平分線的交點在三角形外，由于AC=AF﹣CF，AB=AE+BE.只能得到AB=AC+2 CF，而沒有AB=AC.
【解答】解：教材內(nèi)容沒有錯，步彥京同學(xué)錯了.理由如下：
步彥京同學(xué)給出的示意圖是錯誤的，正確的圖形如右，即角平分線與垂直平分線的交點在三角形外，
步彥京同證明AE=AF，BE=CF沒有錯，但此時AC=AF﹣CF，AB=AE+BE.只有AB=AC+2 CF，而沒有AB=AC.
26.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分別是三邊上的中線.
(1)若AC=1，BC= .求證：AD2+CF2=BE2;
(2)是否存在這樣的Rt△ABC，使得它三邊上的中線AD、BE、CF的長恰好是一組勾股數(shù)?請說明理由.(提示：滿足關(guān)系a2+b2=c2的3個正整數(shù)a、b、c稱為勾股數(shù).)
【考點】勾股定理;勾股數(shù).
【分析】(1)連接FD，根據(jù)三角形中線的定義求出CD、CE，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得FD= AC，然后分別利用勾股定理列式求出AD2、CF2、BE2即可得證;
(2)設(shè)兩直角邊分別為a、b，根據(jù)(1)的思路求出AD2、CF2、BE2，再根據(jù)勾股定理列出方程表示出a、b的關(guān)系，然后用a表示出AD、CF、BE，再進行判斷即可.
【解答】(1)證明：如圖，連接FD，
∵AD、BE、CF分別是三邊上的中線，
∴CD= BC= ，CE= AC= ，
FD= AC= ，
由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=12+( )2= ，
CF2=CD2+FD2=( )2+( )2= ，
BE2=BC2+CE2=( )2+( )2= ，
∵ + = ，
∴AD2+CF2=BE2;
(2)解：設(shè)兩直角邊分別為a、b，
∵AD、BE、CF分別是三邊上的中線，
∴CD= a，CE= b，
FD= AC= a，
由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=b2+( a)2= a2+b2，
CF2=CD2+FD2=( a)2+( b)2= a2+ b2，
BE2=BC2+CE2=a2+( b)2=a2+ b2，
∵AD2+CF2=BE2，
∴ a2+b2+ a2+ b2=a2+ b2，
整理得，a2=2b2，
∴AD= b，
CF= b，
BE= b，
∴CF：AD：BE=1： ： ，
∵沒有整數(shù)是 和 的倍數(shù)，
∴不存在這樣的Rt△ABC.
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