數(shù)學(xué)里面標(biāo)準(zhǔn)差是什么意思
數(shù)學(xué)里面標(biāo)準(zhǔn)差是什么意思？下面是學(xué)習(xí)啦小編為你整理出來的關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)差的解釋，希望對你學(xué)習(xí)有所幫助！
1計算公式編輯
標(biāo)準(zhǔn)差( Standard Deviation)，在 概率統(tǒng)計中最常使用作為 統(tǒng)計分布程度(statistical dispersion)上的測量。標(biāo)準(zhǔn)差定義是總體各單位標(biāo)準(zhǔn)值與其平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)的 平方根。它反映組內(nèi)個體間的離散程度。測量到分布程度的結(jié)果，原則上具有兩種 性質(zhì)：
為非負(fù)數(shù)值， 與測量 資料具有相同單位。一個總量的標(biāo)準(zhǔn)差或一個 隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差，及一個子集合樣品數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差之間，有所差別。
標(biāo)準(zhǔn)計算公式：
假設(shè)有一組數(shù)值X₁,X₂,X₃,......Xn(皆為 實數(shù))，其 平均值( 算術(shù)平均值)為μ，公式如圖1。
標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為 標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實驗標(biāo)準(zhǔn)差，公式為
。
簡單來說，標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù) 平均值分散程度的一種度量。一個較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部分?jǐn)?shù)值和其平均值之間差異較大;一個較小的標(biāo)準(zhǔn)差，代表這些數(shù)值較接近平均值。
例如，兩組數(shù)的集合 {0,5,9,14} 和 {5,6,8,9} 其平均值都是 7 ，但第二個集合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差。
標(biāo)準(zhǔn)差可以當(dāng)作不確定性的一種測量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測量時，測量數(shù)值集合的標(biāo)準(zhǔn)差代表這些測量的精確度。當(dāng)要決定測量值是否符合預(yù)測值，測量值的標(biāo)準(zhǔn)差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預(yù)測值相差太遠(yuǎn)(同時與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值做比較)，則認(rèn)為測量值與預(yù)測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預(yù)測值是否正確。
標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用于投資上，可作為量度回報穩(wěn)定性的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越大，代表回報遠(yuǎn)離過去 平均數(shù)值，回報較不穩(wěn)定故風(fēng)險越高。相反，標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越小，代表回報較為穩(wěn)定，風(fēng)險亦較小。
例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差約為17.08分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差約為2.16分，說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。
如是總體(即估算總體方差)，根號內(nèi)除以n(對應(yīng)excel函數(shù)：STDEVP);
如是抽樣(即估算樣本方差)，根號內(nèi)除以(n-1)(對應(yīng)excel函數(shù)：STDEV);
因為我們大量接觸的是樣本，所以普遍使用根號內(nèi)除以(n-1)。
公式意義
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差
所有數(shù)減去其平均值的平方和，所得結(jié)果除以該組數(shù)之個數(shù)(或個數(shù)減一，即變異數(shù))，再把所得值開根號，所得之?dāng)?shù)就是這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。
深藍(lán)區(qū)域是距平均值小于一個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的數(shù)值范圍。在 正態(tài)分布中，此范圍所占比率為全部數(shù)值之 68%。對于正態(tài)分布，兩個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)(深藍(lán)，藍(lán))的比率合起來為 95%。對于正態(tài)分布，正負(fù)三個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)(深藍(lán)，藍(lán)，淺藍(lán))的比率合起來為 99%。
2意義編輯
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)計算公式 假設(shè)有一組數(shù)值(皆為 實數(shù))，其平均值為：
此組數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差為：
樣本標(biāo)準(zhǔn)差
在真實世界中，除非在某些特殊情況下，找到一個總體的真實的標(biāo)準(zhǔn)差是不現(xiàn)實的。
從一大組數(shù)值當(dāng)中取出一樣本數(shù)值組合 ，常定義其 樣本標(biāo)準(zhǔn)差：
樣本方差 s^2是對總體 方差的 無偏估計。 s^2中分母為 n - 1，是因為s^2的 自由度為 n - 1 ，這是由于存在約束條件。
這里示范如何計算一組數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。例如一群兒童年齡的數(shù)值為 { 5,6,8,9 } ：
第一步，計算平均值
第二步，計算標(biāo)準(zhǔn)差
3離散度編輯
標(biāo)準(zhǔn)差是反映一組數(shù)據(jù)離散程度最常用的一種量化形式，是表示精確度的重要指標(biāo)。說起標(biāo)準(zhǔn)差首先得搞清楚它出現(xiàn)的目的。我們使用方法去檢測它，但檢測方法總是有誤差的，所以檢測值并不是其真實值。檢測值與真實值之間的差距就是評價檢測方法最有決定性的指標(biāo)。但是真實值是多少，不得而知。因此怎樣量化檢測方法的準(zhǔn)確性就成了難題。這也是臨床工作質(zhì)控的目的：保證每批實驗結(jié)果的準(zhǔn)確可靠。
雖然樣本的真實值是不可能知道的，但是每個樣本總是會有一個真實值的，不管它究竟是多少?？梢韵胂螅粋€好的檢測方法，其檢測值應(yīng)該很緊密的分散在真實值周圍。如果不緊密，與真實值的距離就會大，準(zhǔn)確性當(dāng)然也就不好了，不可能想象離散度大的方法，會測出準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，離散度是評價方法的好壞的最重要也是最基本的指標(biāo)。
一組數(shù)據(jù)怎樣去評價和量化它的離散度呢?人們使用了很多種方法：
極差
最直接也是最簡單的 方法，即最大值-最小值(也就是極差)來評價一組數(shù)據(jù)的離散度。這一方法在日常生活中最為常見，比如比賽中去掉最高最低分就是 極差的具體應(yīng)用。
離均差平方和
由于誤差的不可控性，因此只由兩個數(shù)據(jù)來評判一組數(shù)據(jù)是不科學(xué)的。所以人們在要求更高的領(lǐng)域不使用極差來評判。其實，離散度就是數(shù)據(jù)偏離平 均值的程度。因此將數(shù)據(jù)與均值之差(我們叫它 離均差)加起來就能反映出一個準(zhǔn)確的 離散程度。和越大離散度也就越大。
但是由于偶然誤差是成 正態(tài)分布的，離均差有正有負(fù)，對于大樣本離均差的代數(shù)和為零的。為了避免正負(fù)問題，在數(shù)學(xué)有上有兩種方法：一種是取絕對值，也就是常說的離均差絕對值之和。而為了避免符號問題，數(shù)學(xué)上最常用的是另一種方法--平方，這樣就都成了 非負(fù)數(shù)。因此，離均差的平方和成了評價離散度一個指標(biāo)。
方差(S2)
由于離均差的平方和與樣本個數(shù)有關(guān)，只能反應(yīng)相同樣本的離散度，而實際工作中做比較很難做到相同的樣本，因此為了消除樣本個數(shù)的影響，增加可比性，將離均差的平方和求平均值，這就是我們所說的方差成了評價離散度的較好指標(biāo)。
樣本量越大越能反映真實的情況，而算術(shù)平均值卻完全忽略了這個問題，對此統(tǒng)計學(xué)上早有考慮，在統(tǒng)計學(xué)中樣本的均差多是除以 自由度(n-1)，它的意思是樣本能自由選擇的程度。當(dāng)選到只剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。
標(biāo)準(zhǔn)差(SD)
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差
由于 方差是數(shù)據(jù)的平方，與檢測值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根號換算回來這就是我們要說的標(biāo)準(zhǔn)差。
在統(tǒng)計學(xué)中樣本的均差多是除以自由度(n-1)，它是意思是樣本能自由選擇的程度。當(dāng)選到只剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。
變異系數(shù)(CV)
標(biāo)準(zhǔn)差能很客觀準(zhǔn)確的反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，但是對于不同的項目，或同一項目不同的樣本，標(biāo)準(zhǔn)差就缺乏可比性了，因此對于方法學(xué)評價來說又引入了變異系數(shù)CV。
一組數(shù)據(jù)的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差常常同時做為參考的依據(jù)。在直覺上，如果數(shù)值的中心以平均值來考慮，則標(biāo)準(zhǔn)差為統(tǒng)計分布之一“自然”的測量。
定義公式：其中N應(yīng)為n-1，即自由度
?、狈讲顂^2=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2]/(n) (x為平均數(shù))
?、矘?biāo)準(zhǔn)差=方差的算術(shù)平方根
error bar。在實驗中單次測量總是難免會產(chǎn)生誤差，為此我們經(jīng)常測量多次，然后用測量值的 平均值表示測量的量，并用誤差條來表征數(shù)據(jù)的分布，其中誤差條的高度為± 標(biāo)準(zhǔn)誤。這里即標(biāo)準(zhǔn)差。
standard deviation和標(biāo)準(zhǔn)誤standard error 的計算公式分別為
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差
4解釋編輯
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差
從幾何學(xué)的角度出發(fā)，標(biāo)準(zhǔn)差可以理解為一個從 n 維空間的一個點到一條直線的距離的函數(shù)。舉一個簡單的例子，一組數(shù)據(jù)中有3個值，X1,X2,X3。它們可以在3維空間中確定一個點 P = (X1,X2,X3)。想像一條通過原點的直線。如果這組數(shù)據(jù)中的3個值都相等，則點 P 就是直線 L 上的一個點，P 到 L 的距離為0，所以標(biāo)準(zhǔn)差也為0。若這3個值不都相等，過點 P 作垂線 PR 垂直于 L，PR 交 L 于點 R，則 R 的坐標(biāo)為這3個值的平均數(shù)： 運用一些代數(shù)知識，不難發(fā)現(xiàn)點 P 與點 R 之間的距離(也就是點 P 到直線 L 的距離)是|PR|。在 n 維空間中，這個規(guī)律同樣適用，把3換成 n 就可以了。
5標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)誤編輯
標(biāo)準(zhǔn)差與 標(biāo)準(zhǔn)誤都是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的內(nèi)容，兩者不但在字面上比較相近，而且兩者都是表示距離某一個標(biāo)準(zhǔn)值或中間值的離散程度，即都表示變異程度，但是兩者是有著較大的區(qū)別的。
首先要從統(tǒng)計抽樣的方面說起?，F(xiàn)實生活或者調(diào)查研究中，我們常常無法對某類欲進(jìn)行調(diào)查的目標(biāo)群體的所有成員都加以施測，而只能夠在所有成員(即樣本)中抽取一些成員出來進(jìn)行調(diào)查，然后利用統(tǒng)計原理和方法對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分析出來的數(shù)據(jù)結(jié)果就是樣本的結(jié)果，然后用樣本結(jié)果推斷總體的情況。一個總體可以抽取出多個樣本，所抽取的樣本越多，其樣本均值就越接近總體數(shù)據(jù)的平均值。
標(biāo)準(zhǔn)差
表示的就是樣本數(shù)據(jù)的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差就是 樣本平均數(shù)方差的 開平方，標(biāo)準(zhǔn)差通常是相對于樣本數(shù)據(jù)的平均值而定的，通常用M±SD來表示，表示樣本某個數(shù)據(jù)觀察值相距平均值有多遠(yuǎn)。從這里可以看到，標(biāo)準(zhǔn)差受到極值的影響。標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明數(shù)據(jù)越聚集;標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明數(shù)據(jù)越離散。標(biāo)準(zhǔn)差的大小因測驗而定，如果一個測驗是學(xué)術(shù)測驗，標(biāo)準(zhǔn)差大，表示學(xué)生分?jǐn)?shù)的 離散程度大，更能夠測量出學(xué)生的學(xué)業(yè)水平;如果一個測驗測量的是某種心理品質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)差小，表明所編寫的題目是同質(zhì)的，這時候的標(biāo)準(zhǔn)差小的更好。標(biāo)準(zhǔn)差與正態(tài)分布有密切聯(lián)系：在正態(tài)分布中，1個標(biāo)準(zhǔn)差等于正態(tài)分布下曲線的68.26%的面積，1.96個標(biāo)準(zhǔn)差等于95%的面積。這在測驗分?jǐn)?shù)等值上有重要作用。
標(biāo)準(zhǔn)誤
表示的是抽樣的誤差。因為從一個總體中可以抽取出無數(shù)多種樣本，每一個樣本的數(shù)據(jù)都是對總體的數(shù)據(jù)的估計。標(biāo)準(zhǔn)誤代表的就是當(dāng)前的樣本對總體數(shù)據(jù)的估計，標(biāo)準(zhǔn)誤代表的就是 樣本均數(shù)與總體均數(shù)的 相對誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤是由樣本的標(biāo)準(zhǔn)差除以 樣本容量的 開平方來計算的。從這里可以看到，標(biāo)準(zhǔn)誤更大的是受到樣本容量的影響。樣本容量越大，標(biāo)準(zhǔn)誤越小，那么 抽樣誤差就越小，就表明所抽取的樣本能夠較好地代表總體。
一個正態(tài)分布的總體，抽取n個作為樣本，可以得到樣本平均值，用樣本均值估計總體均值需要考慮樣本均值的方差或標(biāo)準(zhǔn)差(也就是標(biāo)準(zhǔn)誤) [1]
6函數(shù)編輯
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差
Excel中有STDEV、STDEVP;STDEVA,STDEVPA四個函數(shù)，分別表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體標(biāo)準(zhǔn)差;包含邏輯值運算的樣本標(biāo)準(zhǔn)差、包含邏輯值運算的總體標(biāo)準(zhǔn)差(excel用的是“標(biāo)準(zhǔn)偏差”字樣)。
在計算方法上的差異是：樣本標(biāo)準(zhǔn)差^2=(樣本方差/(數(shù)據(jù)個數(shù)-1));總體標(biāo)準(zhǔn)差^2=(總體方差/(數(shù)據(jù)個數(shù)))。
函數(shù)的excel分解：
?、舠tdev()函數(shù)可以分解為(假設(shè)樣本數(shù)據(jù)為A1：E10這樣一個 矩陣)：
stdev(A1：E10)=sqrt(DEVSQ(A1：E10)/(COUNT(A1：E10)-1))
?、苨tdevp()函數(shù)可以分解為(假設(shè)總體數(shù)據(jù)為A1：E10這樣一個矩陣)：
stdevp(A1：E10)=sqrt(DEVSQ(A1：E10)/(COUNT(A1：E10)))
同樣的道理stdeva()與stdevpa()也有同樣的分解方法。
7外匯術(shù)語編輯
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差指統(tǒng)計上用于衡量一組數(shù)值中某一數(shù)值與其平均值差異程度的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差被用來評估價格可能的變化或波動程度。標(biāo)準(zhǔn)差越大，價格波動的范圍就越廣，股票等金融工具表現(xiàn)的波動就越大。
在excel中調(diào)用函數(shù)
“STDEV“
估算樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差。標(biāo)準(zhǔn)偏差反映相對于平均值 (mean) 的 離散程度。
8標(biāo)準(zhǔn)差編輯
在真實世界中，除非在某些特殊情況下，不然找到一個總體的真實的標(biāo)準(zhǔn)差是不現(xiàn)實的。大多數(shù)情況下，總體標(biāo)準(zhǔn)差是通過隨機抽取一定量的樣本并計算樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計的。
9應(yīng)用實例編輯
選基金
在投資基金上，一般人比較重視的是業(yè)績，但往往買進(jìn)了
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差
近期業(yè)績表現(xiàn)最佳的基金之后，基金表現(xiàn)反而不如預(yù)期，這是因為所選基金波動度太大，沒有穩(wěn)定的表現(xiàn)。
衡量基金波動程度的工具就是標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation)。標(biāo)準(zhǔn)差是指基金可能的變動程度。標(biāo)準(zhǔn)差越大，基金未來凈值可能變動的程度就越大，穩(wěn)定度就越小，風(fēng)險就越高。
比方說，一年期標(biāo)準(zhǔn)差是30%的基金，表示這類基金的凈值在一年內(nèi)可能上漲30%，但也可能下跌30%。因此，如果有兩只收益率相同的基金，投資人應(yīng)該選擇標(biāo)準(zhǔn)差較小的基金(承受較小的風(fēng)險得到相同的收益)，如果有兩只相同標(biāo)準(zhǔn)差的基金，則應(yīng)該選擇收益較高的基金(承受相同的風(fēng)險，但是收益更高)。建議投資人同時將收益和風(fēng)險計入，以此來判斷基金。例如，A基金二年期的收益率為36%，標(biāo)準(zhǔn)差為18%;B基金二年期收益率為24%，標(biāo)準(zhǔn)差為8%，從數(shù)據(jù)上看，A基金的收益高于B基金，但同時風(fēng)險也大于B基金。A基金的"每單位風(fēng)險收益率"為2(0.36/0.18)，而B基金為3(0.24/0.08)。因此，原先僅僅以收益評價是A基金較優(yōu)，但是經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)差即風(fēng)險因素調(diào)整后，B基金反而更為優(yōu)異。
另外，標(biāo)準(zhǔn)差也可以用來判斷基金屬性。據(jù)晨星統(tǒng)計，今年以來股票基金的平均標(biāo)準(zhǔn)差為5.14，積極型基金的平均標(biāo)準(zhǔn)差為5.04;保守配置型基金的平均標(biāo)準(zhǔn)差為4.86;普通債券基金平均標(biāo)準(zhǔn)差為2.91;貨幣基金平均標(biāo)準(zhǔn)差則為0.19;由此可見，越是積極型的基金，標(biāo)準(zhǔn)差越大;而如果投資人持有的基金標(biāo)準(zhǔn)差高于平均值，則表示風(fēng)險較高，投資人不妨在觀賞奧運比賽的同時，也檢視一下手中的基金。
股市分析中
股票價格的波動是股票市場風(fēng)險的表現(xiàn)，因此股票市場風(fēng)險分析就是對 股票市場價格波動進(jìn)行分析。波動性代表了未來價格取值的不確定性，這種不確定性一般用方差或標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫(Markowitz,1952)。下表是中國和美國部分時段的股票統(tǒng)計指標(biāo)，其中中國證券市場的數(shù)據(jù)由“錢龍”軟件下載， 美國證券市場的數(shù)據(jù)取自ECI的“World Stock Exchange Data Disk”。表2股票統(tǒng)計指標(biāo)
年份
業(yè)績表現(xiàn)
波動率
上證綜指
標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)
上證綜指
標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)
1996
110.93
16.46
0.2376
O.0573
1997
-0.13
31.01
O.1188
O.0836
1998
8.94
26.67
O.0565
O.0676
1999
17.24
19.53
O.1512
0.0433
2000
43.86
-10.14
0.097
0.0421
2001
-15.34
-13.04
O.0902
O.0732
2002
-20.82
-23.37
O.0582
O.1091
通過計算可以得到：
上證綜指業(yè)績 期望值≈(110.93-0.13+8.94+17.24+43.86-15.34-20.82)/7=20.6685714
上證波動率期望值≈0.115643
標(biāo)準(zhǔn)普爾業(yè)績期望值≈6.731429
標(biāo)準(zhǔn)普爾波動率期望值≈0.068029
而標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式則根據(jù)公
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差
式⑵計算：
上證綜指的業(yè)績標(biāo)準(zhǔn)差≈45.2489073
上證波動率標(biāo)準(zhǔn)差≈0.063167
標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)業(yè)績標(biāo)準(zhǔn)差≈21.70647
標(biāo)準(zhǔn)普爾波動率標(biāo)準(zhǔn)差≈0.023647
因為標(biāo)準(zhǔn)差是絕對值，不能通過標(biāo)準(zhǔn)差對中美直接進(jìn)行對比，而變異系數(shù)可以直接比較。計算可得：(變異系數(shù) C·V =( 標(biāo)準(zhǔn)偏差 SD÷ 平均值 MN )× 100%) [2]
上證業(yè)績變異系數(shù)≈2.18926148
上證波動率變異系數(shù)≈0.5462
標(biāo)準(zhǔn)普爾業(yè)績變異系數(shù)≈3.2247
標(biāo)準(zhǔn)普爾波動率變異系數(shù)≈0.3476
通過比較可以看出上證波動率變異系數(shù)要大于標(biāo)準(zhǔn)普爾波動率變異系數(shù)，說明長期來講 中國股市穩(wěn)定性相對較差，還是一個不太成熟的 股票市場。
企業(yè)中的應(yīng)用
資本結(jié)構(gòu)指的是企業(yè)各種資金來源的比例關(guān)系，是企業(yè)籌資活動的結(jié)果。 最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)是指能使企業(yè)資本成本最低且企業(yè)價值最大的資本結(jié)構(gòu); 產(chǎn)權(quán)比率，即 借入資本與 自有資本的構(gòu)成比例，是反映企業(yè)資本結(jié)構(gòu)的重要變量。企業(yè)的資產(chǎn)由債務(wù)性資金和權(quán)益性資金組成，但其風(fēng)險等級和 收益率各不相同。根據(jù) 投資組合理論，投資的多樣化可以分散掉一定的風(fēng)險，因此資金提供者需要決定投資于債務(wù)性資金和權(quán)益性資金的比例。以便在權(quán)衡風(fēng)險和收益的情況下保證其利益的最大化。
標(biāo)準(zhǔn)差
標(biāo)準(zhǔn)差
理論探索而外部資金提供者利益的最大化也就是企業(yè)價值的最大化，這一投資比例對于企業(yè)融資而言也就是企業(yè)的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)比例。
假定某企業(yè)的資金通過發(fā)行債券和股票兩種方式獲得，并且都屬于風(fēng)險性資產(chǎn)。σ其中債券的收益率為 rD，風(fēng)險通過標(biāo)準(zhǔn)差σD來衡量;股票的收益率為 rE，風(fēng)險為σ E;股票和債券的 相關(guān)系數(shù)為 pDE， 協(xié)方差為 C O V( rD, rE);債券所占的比重為 wD，股票所占比重為 WE( WD + WE = 1)。根據(jù) 投資組合理論，企業(yè)外部投資者對該企業(yè)投資所獲的 期望收益率為 E( rp) = WD E( rD) + wE E( rE)，方差為 1、企業(yè)債務(wù)性資金和權(quán)益性資金完全 正相關(guān)，即相關(guān)系數(shù) pDE為1。企業(yè)外部投資者獲得的 期望收益率為 E( rp) = wD E( rD) + wE E( rE)，風(fēng)險標(biāo)準(zhǔn)差為σ = wDσD + wEσE，也就是組合的標(biāo)準(zhǔn)差等于各個部分標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均值，通過 投資組合不可能分散掉投資風(fēng)險。根據(jù)投資組合理論，投資組合的不同比例對于投資者而言是無差異的。
?、财髽I(yè)債務(wù)性資金和權(quán)益性資金完全負(fù)相關(guān)，即其相關(guān)系數(shù)為-1。投資者獲得的報酬率的期望值及其方差分別為。根據(jù)投資組合理論，只有當(dāng)投資比例大于σE / (σD + σE)時其投資組合才是有效的。對于 企業(yè)籌資而言，也即企業(yè)的權(quán)益性資金的比例大干σE / (σD + σE)，企業(yè)的籌資比例才是有效的，而且當(dāng)組合比例為σE / (σD + σE)時，企業(yè)的籌資組合風(fēng)險為零。
?、称髽I(yè)債務(wù)性資金和權(quán)益性資金的相關(guān)系數(shù)大于-1小于1。理論上，一個企業(yè)的兩種 籌資方式之間的相關(guān)程度較高，一方面兩種籌資方式都承擔(dān) 系統(tǒng)風(fēng)險，另一方面它們也承擔(dān)相同的公司風(fēng)險。因此從實踐來看，企業(yè)的不同籌資方式間的相關(guān)程度不可能是完全的正相關(guān)和 負(fù)相關(guān)。對于一個企業(yè)而言，債務(wù)性資金對企業(yè)有固定的要求權(quán)，權(quán)益性資金對企業(yè)只有剩余要求權(quán)，因此債務(wù)性資金的波動不可能像權(quán)益性資金的波動那么大。同時企業(yè)的風(fēng)險會同時影響企業(yè)的債務(wù)性資金和權(quán)益性資金，因此企業(yè)的債務(wù)性資金和權(quán)益性資金的相關(guān)系數(shù)不可能為負(fù)數(shù)。企業(yè)不同的籌資方式間的相關(guān)系數(shù)一般在0-1之間。
那么究竟在什么比例下企業(yè)的價值才會達(dá)到最大呢?根據(jù) 投資組合理論，當(dāng) E( r1) > E( r2)，且 時，才能出現(xiàn) r1，優(yōu)于 r2?？梢姡瑳Q定 企業(yè)資本結(jié)構(gòu)的直接因素主要是不同 籌資方式的收益率和風(fēng)險以及它們之間的 相關(guān)系數(shù)。
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