《什么是數(shù)學(xué)》_讀書筆記

　　001.它(本書)的目標(biāo)之一是反擊這樣的思想：“數(shù)學(xué)不是別的東西，而是從定義和公理推導(dǎo)出來的一組結(jié)論，而這些定義和命題除了必須不矛盾外，可以由數(shù)學(xué)家根據(jù)他們的意志隨意創(chuàng)造。”

　　002.數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)了心靈感知的抽象世界和完全沒有生命的真實(shí)的物質(zhì)世界。

　　003.“非現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)實(shí)性”

　　004.正規(guī)的數(shù)學(xué)就像拼寫和語法一樣，是一種對約定規(guī)則的正確應(yīng)用，有意義的數(shù)學(xué)就像用來講述有趣故事的報(bào)刊雜志;但不像某些報(bào)刊雜志，它的故事必須是真實(shí)的。最好的數(shù)學(xué)就應(yīng)該像文學(xué)作品——故事來源于你眼前活生生的生活，致使你把精力和感情投入其中。

　　005.數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟演變成空洞的解題訓(xùn)練。這種訓(xùn)練雖然可以提高形式推導(dǎo)的能力，但卻不能導(dǎo)致真正的理解與深入的獨(dú)立思考。

　　006.數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，是科學(xué)思考和行動的基礎(chǔ)。

　　007.介紹數(shù)學(xué)不必過分注重通常例行的做法，也不應(yīng)采取生硬的教條主義的態(tài)度，因?yàn)榻虠l主義會掩蓋動機(jī)和目的，妨礙人們作實(shí)事求是的努力。

　　008.數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩ν昝谰辰绲淖非?。它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和構(gòu)作、一般性和個(gè)別性。

　　009.毫無疑問，一切數(shù)學(xué)的發(fā)展在心理上都或多或少地是基于實(shí)際的。但理論一旦在實(shí)際的需要中出現(xiàn)，就不可避免地會使自身獲得發(fā)展的動力，并超出直接實(shí)用的局限。

　　010.希臘數(shù)學(xué)的理論化和公理化的傾向一直是它的一個(gè)重要特點(diǎn)，并且曾經(jīng)產(chǎn)生過巨大的影響。但是，對這一點(diǎn)我們不能過分強(qiáng)調(diào)，因?yàn)樵诠糯鷶?shù)學(xué)中，應(yīng)用以及同物理現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系恰恰起了同樣重要的作用。

　　011.事實(shí)上，那種創(chuàng)造發(fā)明的要素，那種起指導(dǎo)和推動作用的直觀要素，雖然常常不能用簡單的哲學(xué)公式來表達(dá)，但是它們卻是任何數(shù)學(xué)成就的核心，即使在最抽象的領(lǐng)域里也是如此。如果說完善的演繹形式是目標(biāo)，那么直觀和構(gòu)作至少也是一種動力。

　　012.只有在以達(dá)到有機(jī)整體為目標(biāo)的前提下，以及在內(nèi)在需求的指引下，自由的思維才能作出有科學(xué)價(jià)值的成果來。

　　013.對于科學(xué)方法而言，重要的是應(yīng)放棄帶有行而上學(xué)性質(zhì)的因素，而去考慮那些可觀測的事實(shí)，把它們作為概念和構(gòu)作的最終根源。

　　014.基本的數(shù)學(xué)概念必須抽象化。

　　015.唯一能回答“什么是數(shù)學(xué)”這一問題的，不是哲學(xué)而是數(shù)學(xué)本身中的活生生的經(jīng)驗(yàn)。