對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域怎么求
對(duì)數(shù)函數(shù),特別是對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義域以及值域,由于它牽涉的知識(shí)點(diǎn)比較多,在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有相當(dāng)重要的地位,對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域怎么求?以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的求法，歡迎大家前來(lái)閱讀!
對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的求法
試題分析
根據(jù)函數(shù)的定義為使函數(shù)的解析式有意義的自變量x取值范圍，我們可以構(gòu)造關(guān)于自變量x的不等式，解不等式即可得到答案.
試題解析
(1)要使函數(shù)的解析式有意義，
自變量x須滿(mǎn)足：
2+x>02−x>0，可得-2
故函數(shù)f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)的定義域?yàn)?-2，2).
(2)∵不等式f(x)>m有解，∴m
令t=4-x2，∵-2
∵y=lgx，為增函數(shù)，
∴f(x)的最大值為lg4，
∴m的取值范圍為m
對(duì)數(shù)函數(shù)
6類(lèi)基本初等函數(shù)之一。
對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，讀作以a為底N的對(duì)數(shù)，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。
一般地，函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，也就是說(shuō)以?xún)?真數(shù))為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對(duì)數(shù)函數(shù)。
其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，+∞)。它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。
“log”是拉丁文logarithm(對(duì)數(shù))的縮寫(xiě)，讀作：[英][lɔɡ][美][lɔɡ, lɑɡ]。
對(duì)數(shù)函數(shù)定義性質(zhì)
一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作log(a)(N)=b,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。
底數(shù)則要大于0且不為1
對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
當(dāng)a>0且a≠1時(shí),M>0,N>0，那么：
(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)
(4)換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)
對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系
當(dāng)a>0且a≠1時(shí),a^x=N x=㏒(a)N
常用簡(jiǎn)略表達(dá)方式
(1)常用對(duì)數(shù):lg(b)=log(10)(b)
(2)自然對(duì)數(shù):ln(b)=log(e)(b)
(3) log(a)+(b)=log(a)(b)
e=2.718281828... 通常情況下只取e=2.71828 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義
對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=㏒(a)x，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)(圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的兩函數(shù)互為反函數(shù))，可表示為x=a^y。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定(a>0且a≠1)，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。
右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：
可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過(guò)的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。
定義域：(0，+∞)值域：實(shí)數(shù)集R
定點(diǎn)：函數(shù)圖像恒過(guò)定點(diǎn)(1，0)。
單調(diào)性：a>1時(shí)，在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，并且上凸;
0減函數(shù)，并且下凹。<1時(shí)，在定義域上為單調(diào)
奇偶性：非奇非偶函數(shù)
周期性：不是周期函數(shù)
零點(diǎn)：x=1
對(duì)數(shù)函數(shù)的歷史
16世紀(jì)末至17世紀(jì)初的時(shí)候，當(dāng)時(shí)在自然科學(xué)領(lǐng)域(特別是天文學(xué))的發(fā)展上經(jīng)常遇到大量精密而又龐大的數(shù)值計(jì)算，于是數(shù)學(xué)家們?yōu)榱藢で蠡?jiǎn)的計(jì)算方法而發(fā)明了對(duì)數(shù)。
德國(guó)的史提非(1487-1567)在1544年所著的《整數(shù)算術(shù)》中，寫(xiě)出了兩個(gè)數(shù)列，左邊是等比數(shù)列(叫原數(shù))，右邊是一個(gè)等差數(shù)列(叫原數(shù)的代表，或稱(chēng)指數(shù)，德文是Exponent ，有代表之意)。
欲求左邊任兩數(shù)的積(商)，只要先求出其代表(指數(shù))的和(差)，然后再把這個(gè)和(差)對(duì)向左邊的一個(gè)原數(shù)，則此原數(shù)即為所求之積(商)，可惜史提非并未作進(jìn)一步探索，沒(méi)有引入對(duì)數(shù)的概念。
納皮爾對(duì)數(shù)值計(jì)算頗有研究。他所制造的「納皮爾算籌」，化簡(jiǎn)了乘除法運(yùn)算，其原理就是用加減來(lái)代替乘除法。 他發(fā)明對(duì)數(shù)的動(dòng)機(jī)是為尋求球面三角計(jì)算的簡(jiǎn)便方法，他依據(jù)一種非常獨(dú)等的與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有關(guān)的設(shè)想構(gòu)造出所謂對(duì)數(shù)方 法，其核心思想表現(xiàn)為算術(shù)數(shù)列與幾何數(shù)列之間的聯(lián)系。在他的《奇妙的對(duì)數(shù)表的描述》中闡明了對(duì)數(shù)原理，后人稱(chēng)為 納皮爾對(duì)數(shù)，記為Nap.㏒x，它與自然對(duì)數(shù)的關(guān)系為Nap.㏒x=107㏑(107/x)
由此可知，納皮爾對(duì)數(shù)既不是自然對(duì)數(shù)，也不是常用對(duì)數(shù)，與現(xiàn)今的對(duì)數(shù)有一定的距離。
瑞士的彪奇(1552-1632)也獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)，可能比納皮爾較早，但發(fā)表較遲(1620)。
英國(guó)的布里格斯在1624年創(chuàng)造了常用對(duì)數(shù)。
1619年，倫敦斯彼得所著的《新對(duì)數(shù)》使對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)更接近(以e=2.71828...為底)。
對(duì)數(shù)的發(fā)明為當(dāng)時(shí)社會(huì)的發(fā)展起了重要的影響，正如科學(xué)家伽利略(1564-1642)說(shuō)：「給我時(shí)間，空間和對(duì)數(shù)，我可以創(chuàng)造出一個(gè)宇宙」。又如十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家拉普拉斯( 1749-1827)亦提到：「對(duì)數(shù)用縮短計(jì)算的時(shí)間來(lái)使天文學(xué)家的壽命加倍」。
最早傳入我國(guó)的對(duì)數(shù)著作是《比例與對(duì)數(shù)》，它是由波蘭的穆尼斯(1611-1656)和我國(guó)的薛鳳祚在17世紀(jì)中葉合 編而成的。當(dāng)時(shí)在lg2=0.3010中，2叫「真數(shù)」，0.3010叫做「假數(shù)」，真數(shù)與假數(shù)對(duì)列成表，故稱(chēng)對(duì)數(shù)表。后來(lái)改用 「假數(shù)」為「對(duì)數(shù)」。
我國(guó)清代的數(shù)學(xué)家戴煦(1805-1860)發(fā)展了多種的求對(duì)數(shù)的捷法，著有《對(duì)數(shù)簡(jiǎn)法》(1845)、《續(xù)對(duì)數(shù)簡(jiǎn)法》(1846)等。1854年，英國(guó)的數(shù)學(xué)家艾約瑟(1825-1905) 看到這些著作后，大為嘆服。
當(dāng)今中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)是先講「指數(shù)」，后以反函數(shù)形式引出「對(duì)數(shù)」的概念。但在歷史上，恰恰相反，對(duì)數(shù)概念不是來(lái)自指數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)尚無(wú)分指數(shù)及無(wú)理指數(shù)的明確概念。布里格斯曾向納皮爾提出用冪指數(shù)表示對(duì)數(shù)的建議。1742年 ，J.威廉(1675-1749)在給G.威廉的《對(duì)數(shù)表》所寫(xiě)的前言中作出指數(shù)可定義對(duì)數(shù)。而歐拉在他的名著《無(wú)窮小 分析尋論》(1748)中明確提出對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)，和現(xiàn)在教科書(shū)中的提法一致。
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