人教版初二數(shù)學(xué)上冊期末測試卷(2)
人教版初二數(shù)學(xué)上冊期末測試卷
【解答】解：整理已知條件得y﹣x=2xy;
∴x﹣y=﹣2xy
將x﹣y=﹣2xy整體代入分式得
=
=
=
= .
故答案為B.
【點評】由題干條件找出x﹣y之間的關(guān)系，然后將其整體代入求出答案即可.
12.若x2+cx+6=(x+a)(x+b)，其中a，b，c為整數(shù)，則c的取值有( )
A.1個 B.2個 C.4個 D.8個
【分析】已知等式右邊利用多項式乘以多項式法則計算，即可確定出c的取值個數(shù).
【解答】解：x2+cx+6=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，
可得c=a+b，ab=6，
即a=1，b=6，此時c=1+6=7;a=2，b=3，此時c=2+3=5;a=﹣3，b=﹣2，此時c=﹣3﹣2=﹣5;a=﹣1，b=﹣6，此時c=﹣1﹣6=﹣7，
則c的取值有4個.
故選C
【點評】此題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵.
二、填空題(共7小題，每小題4分，滿分28分)
13.計算3a2b3•(﹣2ab)2= 12a4b5 .
【分析】首先利用積的乘方運算法則化簡，進而利用單項式乘以單項式運算法則求出即可.
【解答】解：3a2b3•(﹣2ab)2=3a2b3•4a2b2=12a4b5.
故答案為：12a4b5.
【點評】此題主要考查了單項式乘以單項式，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵.
14.分解因式：a2b﹣b3= b(a+b)(a﹣b) .
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式進行二次因式分解.平方差公式：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
【解答】解：a2b﹣b3，
=b(a2﹣b2)，(提取公因式)
=b(a+b)(a﹣b).(平方差公式)
故答案為：b(a+b)(a﹣b).
【點評】本題考查提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二次分解，注意分解因式要徹底.
15.如圖，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PQ⊥OA，若PC=4，則PQ= 2 .
【分析】過點P作PM⊥OB于M，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠BCP的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求得PM的長，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等得到PM=PQ，從而求得PQ的長.
【解答】解：過點P作PM⊥OB于M，
∵PC∥OA，
∴∠COP=∠CPO=∠POQ=15°，
∴∠BCP=30°，
∴PM= PC=2，
∵PQ=PM，
∴PQ=2.
故答案為：2.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì);解決本題的關(guān)鍵就是利用角平分線的性質(zhì)，把求PQ的長的問題進行轉(zhuǎn)化.
16.如圖，將一張長方形紙片折疊成如圖所示的形態(tài)，∠CBD=40°，則∠ABC= 70° .
【分析】首先根據(jù)鄰補角定義可得∠CBC′=180°﹣40°=140°，再根據(jù)折疊可得∠CBA=∠C′BA，進而得到答案.
【解答】解：∵∠CBD=40°，
∴∠CBC′=180°﹣40°=140°，
根據(jù)折疊可得∠CBA=∠C′BA，
∴∠ABC=140°÷2=70°，
故答案為：70°.
【點評】此題主要考查了翻折變換，關(guān)鍵是掌握圖形翻折后哪些角是對應(yīng)相等的.
17.如圖，點E為等邊△ABC中AC邊的中點，AD⊥BC，且AD=5，P為AD上的動點，則PE+PC的最小值為 5 .
【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，連接BE，則線段BE的長即為PE+PC最小值.
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，且AD=5，
∴AB= = = ，
連接BE，線段BE的長即為PE+PC最小值，
∵點E是邊AC的中點，
∴CE= AB= × = cm，
∴BE= = = =5，
∴PE+PC的最小值是5.
故答案為：5.
【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
18.若關(guān)于x的分式方程 無解，則m的值是 3 .
【分析】先把分式方程化為整式方程得到x=m﹣2，由于關(guān)于x的分式方程 無解，則最簡公分母x﹣1=0，求得x=1，進而得到m=3.
【解答】解：去分母，得m﹣3=x﹣1，
x=m﹣2.
∵關(guān)于x的分式方程無解，
∴最簡公分母x﹣1=0，
∴x=1，
當x=1時，得m=3，
即m的值為3.
故答案為3.
【點評】本題考查了分式方程的解：使分式方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值叫分式方程的解.當分式方程無解時可能存在兩種情況：(1)原分式方程存在增根;(2)原分式方程去分母后，整式方程無解.本題中由于原分式方程去分母后，得到的整式方程為一元一次方程，必定有解，所以只有一種情況.
19.如圖，在等邊△ABC中，AC=3，點O在AC上，且AO=1.點P是AB上一點，連接OP，以線段OP為一邊作正△OPD，且O、P、D三點依次呈逆時針方向，當點D恰好落在邊BC上時，則AP的長是 2 .
【分析】如圖，通過觀察，尋找未知與已知之間的聯(lián)系.AO=1，則OC=2.證明△AOP≌△COD求解.
【解答】解：∵∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∴∠CDO=∠AOP.
∴△ODC≌△POA.
∴AP=OC.
∴AP=OC=AC﹣AO=2.
故答案為：2.
【點評】解決本題的關(guān)鍵是利用全等把所求的線段轉(zhuǎn)移到已知的線段上.
三、解答題(共5小題，滿分56分)
20.解答下列各題：
(1)分解因式：4a2﹣8ab+4b2﹣16c2
(2)計算：(2a+b)(2a﹣b)+b(2a+b)﹣8a2b÷2b
(3)化簡求值：( ﹣ )÷ ，其中x=﹣3
(4)解分式方程： ﹣1= .
【分析】(1)首先提公因式4，然后把前三項寫成完全平方的形式，利用平方差公式分解;
(2)首先利用平方差公式以及單項式與多項式的乘法、單項式與單項式的除法法則計算，然后合并同類項即可;
(3)首先把括號內(nèi)的分式的分母分解因式，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后利用分配律計算，最后進行分式的加減即可;
(4)首先去分母轉(zhuǎn)化為整式方程求得x的值，然后進行檢驗即可.
【解答】解：(1)原式=4(a2﹣2ab+b2﹣4c2)
=4[(a2﹣2ab+b2)﹣4c2]=4[(a﹣b)2﹣4c2]
=4(a﹣b+2c)(a﹣b﹣2c);
(2)原式=4a4﹣b2+2ab+b2﹣4a2=2ab;
(3)原式=[ ﹣ ]÷
= • ﹣ •
= ﹣
=
=
=
=
=1;
(4)方程兩邊同時乘以(x+2)(x﹣2)得，x(x+2)﹣(x2﹣4)=8，
去括號，得x2+2x﹣x2﹣4=8，
解得：x=6，
檢驗：當x=6時，(x+2)(x﹣2)=8×4=32≠0.
則x=6是方程的解.
【點評】本題考查了分式的化簡求值以及分式方程的解法，正確進行分解因式是關(guān)鍵，且要注意解分式方程時一定要檢驗.
21.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.求證：
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
【分析】(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答.
(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB=BF即可.
【解答】證明：(1)∵AD∥BC(已知)，
∴∠ADC=∠ECF(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，
∵E是CD的中點(已知)，
∴DE=EC(中點的定義).
∵在△ADE與△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴FC=AD(全等三角形的性質(zhì)).
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF(全等三角形的對應(yīng)邊相等)，
∴BE是線段AF的垂直平分線，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF(已證)，
∴AB=BC+AD(等量代換).
【點評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識.線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等.
22.如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CE=CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：M是BE的中點.
【分析】要證M是BE的中點，根據(jù)題意可知，證明△BDE△為等腰三角形，利用等腰三角形的高和中線向重合即可得證.
【解答】證明：連接BD，
∵在等邊△ABC，且D是AC的中點，
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=ED，△BDE為等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中點.
【點評】本題考查了等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線和高三線合一的性質(zhì)以及等邊三角形每個內(nèi)角為60°的知識.輔助線的作出是正確解答本題的關(guān)鍵.
23.從2014年春季開始，我縣農(nóng)村實行垃圾分類集中處理，對農(nóng)村環(huán)境進行綜合整治，靚化了我們的家園.現(xiàn)在某村要清理一個衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾，若用甲、乙兩車運送，兩車各運15趟可完成，已知甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾，乙車所運趟數(shù)是甲車的3倍，求甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾各需運多少趟?
【分析】設(shè)甲車單獨運完此堆垃圾需運x趟，則乙車單獨運完此堆垃圾需運3x趟，根據(jù)兩車各運15趟可完成總?cè)蝿?wù)，列方程求解.
【解答】解：設(shè)甲車單獨運完此堆垃圾需運x趟，則乙車單獨運完此堆垃圾需運3x趟，
根據(jù)題意得： + =1，
解得：x=20，
經(jīng)檢驗：x=20是方程的解，且符合題意，
則20×3=60(趟).
答：甲車單獨運完此堆垃圾需運20趟，乙車單獨運完此堆垃圾需運60趟.
【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂原題，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗.
24.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中還要學(xué)習(xí)的十字相乘法，但有更多的多項式只用上述方法就無法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了.過程為：x2﹣4y2﹣2x+4y=(x+2y)(x﹣2y)﹣2(x﹣2y)=(x﹣2y)(x+2y﹣2)這種分解因式的方法叫分組分解法.利用這種方法解決下列問題：
(1)分解因式：a2﹣4a﹣b2+4;
(2)△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判斷△ABC的形狀.
【分析】(1)首先將a2﹣4a+4三項組合，利用完全平方公式分解因式，進而利用平方差公式分解因式得出即可;
(2)首先將前兩項以及后兩項組合，進而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的關(guān)系，判斷三角形形狀即可.
【解答】解：(1)a2﹣4a﹣b2+4
=a2﹣4a+4﹣b2
=(a﹣2)2﹣b2
=(a+b﹣2)(a﹣b﹣2);
(2)a2﹣ab﹣ac+bc=0，
∴a2﹣ab﹣(ac﹣bc)=0，
∴a(a﹣b)﹣c(a﹣b)=0，
∴(a﹣b)(a﹣c)=0，
∴a﹣b=0，或者a﹣c=0，
即：a=b，或者a=c
∴△ABC是等腰三角形.
【點評】此題主要考查了分組分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正確分組分解得出是解題關(guān)鍵.
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