初三數學上期末試卷(2)
初三數學上期末試卷參考答案
一、選擇題(本大題共有10個小題，每小題3分，共30分.每小題只有一個正確選項，請把正確選項的字母代號填在題后的括號內).
1.下列四張撲克牌圖案，屬于中心對稱的是( )
A. B. C. D.
【考點】中心對稱.
【分析】根據中心對稱圖形的概念和各撲克牌的花色排列特點的求解.
【解答】解：A、是中心對稱圖形，符合題意;
B、不是中心對稱圖形，不符合題意;
C、不是中心對稱圖形，不符合題意;
D、不是中心對稱圖形，不符合題意.
故答案為：A.
2.若關于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0沒有實數根，則實數m的取值是( )
A.m<1 B.m>﹣1 C.m>1 D.m<﹣1
【考點】根的判別式.
【分析】方程沒有實數根，則△<0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍.
【解答】解：由題意知，△=4﹣4m<0，
∴m>1
故選：C.
3.已知拋物線的解析式為y=(x﹣2)2+1，則這條拋物線的頂點坐標是( )
A.(﹣2，1) B.(2，1) C.(2，﹣1) D.(1，2)
【考點】二次函數的性質.
【分析】直接根據頂點式的特點寫出頂點坐標.
【解答】解：因為y=(x﹣2)2+1為拋物線的頂點式，
根據頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為(2，1).
故選B.
4.如圖，在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧 沿弦AC翻折交AB于點D，連接CD.如果∠BAC=20°，則∠BDC=( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
【考點】圓心角、弧、弦的關系;圓周角定理;翻折變換(折疊問題).
【分析】連接BC，根據直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB，根據直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據翻折的性質得到 所對的圓周角，然后根據∠ACD等于 所對的圓周角減去 所對的圓周角可得出∠DAC的度數，由三角形外角的性質即可得出結論.
【解答】解：如圖，連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°.
根據翻折的性質， 所對的圓周角為∠B， 所對的圓周角為∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=70°，
故選B.
5.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可變形為( )
A.(x+2)2=9 B.(x﹣2)2=9 C.(x+2)2=1 D.(x﹣2)2=1
【考點】解一元二次方程-配方法.
【分析】移項后配方，再根據完全平方公式求出即可.
【解答】解：x2+4x﹣5=0，
x2+4x=5，
x2+4x+22=5+22，
(x+2)2=9，
故選：A.
6.如圖，已知在▱ABCD中，AE⊥BC于點E，以點B為中心，取旋轉角等于∠ABC，把△BAE順時針旋轉，得到△BA′E′，連接DA′.若∠ADC=60°，AD=5，DC=4 則DA′的大小為( )
A.1 B. C. D.2
【考點】旋轉的性質;平行四邊形的性質.
【分析】過A′作A′F⊥DA于點F，由旋轉的性質可得求得A′B，在Rt△ABE中可求得BE，則可求得A′E，則可求得DF和A′F，在Rt△A′FD中由勾股定理可求得A′D.
【解答】解：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD=4，∠ABC=∠ADC=60°，
∴BE= AB=2，AE=A′F= AB=2 ，
∵取旋轉角等于∠ABC，把△BAE順時針旋轉，得到△BA′E′，
∴A′B在線段BC上，且A′B=AB=5，
∴A′E=A′B﹣BE=5﹣2=3，
∴AF=A′E=3，
∴DF=DA﹣AF=5﹣3=2，
在Rt△A′FD中，由勾股定理可得A′D= = = ，
故選C.
7.如圖，圓O與正方形ABCD的兩邊AB、AD相切，且DE與圓O相切于E點.若圓O的半徑為5，且AB=11，則DE的長度為何?( )
A.5 B.6 C. D.
【考點】切線的性質;正方形的性質.
【分析】求出正方形ANOM，求出AM長和AD長，根據DE=DM求出即可.
【解答】解：
連接OM、ON，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=11，∠A=90°，
∵圓O與正方形ABCD的兩邊AB、AD相切，
∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，
∵OM=ON，
∴四邊形ANOM是正方形，
∴AM=OM=5，
∵AD和DE與圓O相切，圓O的半徑為5，
∴AM=5，DM=DE，
∴DE=11﹣5=6，
故選B.
8.下列事件中是必然發(fā)生的事件是( )
A.打開電視機，正播放新聞
B.通過長期努力學習，你會成為數學家
C.從一副撲克牌中任意抽取一張牌，花色是紅桃
D.某校在同一年出生的有367名學生，則至少有兩人的生日是同一天
【考點】隨機事件.
【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件.
【解答】解：A、B、C選項可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機事件.故不符合題意;
D、是必然事件.
故選D.
9.如果小強將鏢隨意投中如圖所示的正方形木板，那么鏢落在陰影部分的概率為( )
A. B. C. D.
【考點】幾何概率.
【分析】根據幾何概率的求法：鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值.
【解答】解：觀察這個圖可知：陰影部分占四個小正方形，占總數36個的 ，故其概率是 .
故選A.
10.當ab>0時，y=ax2與y=ax+b的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】二次函數的圖象;一次函數的圖象.
【分析】根據題意，ab>0，即a、b同號，分a>0與a<0兩種情況討論，分析選項可得答案.
【解答】解：根據題意，ab>0，即a、b同號，
當a>0時，b>0，y=ax2與開口向上，過原點，y=ax+b過一、二、三象限;
此時，沒有選項符合，
當a<0時，b<0，y=ax2與開口向下，過原點，y=ax+b過二、三、四象限;
此時，D選項符合，
故選D.
二、填空題(本大題共有8小題，每小題3分，共24分.請把答案填在題中的橫線上.)
11.關于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根為0，則m= ﹣1 .
【考點】一元二次方程的解.
【分析】根據一元二次方程的解的定義，將x=0代入原方程，列出關于m的方程，通過解關于m的方程即可求得m的值.
【解答】解：∵關于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根為0，
∴x=0滿足關于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0，且m﹣1≠0，
∴m2﹣1=0，即(m﹣1)(m+1)=0且m﹣1≠0，
∴m+1=0，
解得，m=﹣1;
故答案是：﹣1.
12.設拋物線y=x2+8x﹣k的頂點在x軸上，則k= ﹣16 .
【考點】二次函數的性質.
【分析】頂點在x軸上，所以頂點的縱坐標是0.
【解答】解：根據題意得 =0，
解得k=﹣16.
故答案為：﹣16.
13.如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，過點D作⊙O的切線，切點為C，若∠A=25°，則∠D= 40 度.
【考點】切線的性質.
【分析】連接OC，先根據圓周角定理得∠DOC=2∠A=40°，再根據切線的性質定理得∠OCD=90°，則此題易解.
【解答】解：連接OC，
∵∠A=25°，
∴∠DOC=2∠A=50°，
又∠OCD=90°，
∴∠D=40°.
14.將直角邊長為5cm的等腰直角△ABC繞點A逆時針旋轉15°后，得到△AB′C′，則圖中陰影部分的面積是 cm2.
【考點】解直角三角形;旋轉的性質.
【分析】陰影部分為直角三角形，且∠C′AB=30°，AC′=5，解此三角形求出短直角邊后計算面積.
【解答】解：∵等腰直角△ABC繞點A逆時針旋轉15°后得到△AB′C′，
∵∠CAC′=15°，
∴∠C′AB=∠CAB﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，AC′=AC=5，
∴陰影部分的面積= ×5×tan30°×5= .
15.不透明袋子中裝有9個球，其中有2個紅球、3個綠球和4個藍球，這些球除顏色外無其他差別.從袋子中隨機取出1個球，則它是紅球的概率是 .
【考點】概率公式.
【分析】根據概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數;②符合條件的情況數目;二者的比值就是其發(fā)生的概率.
【解答】解：∵共4+3+2=9個球，有2個紅球，
∴從袋子中隨機摸出一個球，它是紅球的概率為 ，
故答案為： .
16.下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，其中第①個圖形中一共有6個小圓圈，第②個圖形中一共有9個小圓圈，第③個圖形中一共有12個小圓圈，…，按此規(guī)律排列，則第⑦個圖形中小圓圈的個數為 24 .
【考點】規(guī)律型：圖形的變化類.
【分析】由圖形可知：第1個圖形有3+3×1=6個圓圈，第2個圖形有3+3×2=9個圓圈，第3個圖形有3+3×3=12個圓圈，…由此得出第n個圖形有3+3n個圓圈，進一步代入求得答案即可.
【解答】解：∵第1個圖形有3+3×1=6個圓圈，
第2個圖形有3+3×2=9個圓圈，
第3個圖形有3+3×3=12個圓圈，
…
∴第n個圖形有3+3n個圓圈.
則第⑦個圖形中小圓圈的個數為3+3×7=24，
故選：24.
三、解答題：本大題共10個小題，滿分102分，解答時應寫出必要的計算過程、推理步驟或文字說明.
17.解方程：(x﹣3)2+4x(x﹣3)=0.
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】方程的左邊提取公因式x﹣3，即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解.
【解答】解：原式可化為：(x﹣3)(x﹣3+4x)=0
∴x﹣3=0或5x﹣3=0
解得 .
18.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，每個小方格的邊長為1個單位長度.正方形ABCD頂點都在格點上，其中，點A的坐標為(1，1).
(1)將正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉90°畫出旋轉后的圖形;
(2)若點B到達點B1，點C到達點C1，點D到達點D1，寫出點B1、C1、D1的坐標.
【考點】作圖-旋轉變換.
【分析】(1)分別畫出B、C、D三點繞點A順時針方向旋轉90°后的對應點B1、C1、D1即可.
(2)根據圖象寫出坐標即可.
【解答】解：(1)正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉90°，旋轉后的圖形如圖所示.
(2)B1(2，﹣1)，C1(4，0)，D1(3，2).
19.如圖，點A，B在⊙O上，直線AC是⊙O的切線，OC⊥OB，連接AB交OC于點D.求證：AC=CD.
【考點】切線的性質;垂徑定理.
【分析】AC為圓的切線，利用切線的性質得到∠OAC為直角，再由OC與OB垂直，得到∠BOC為直角，由OA=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再利用對頂角相等及等角的余角相等得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證.
【解答】∵直線AC與⊙O相切，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，即∠OAB+∠CAB=90°，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC=90°，
∴∠B+∠ODB=90°，
而∠ODB=∠ADC，
∴∠ADC+∠B=90°，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠B，
∴∠ADC=∠CAB，
∴AC=CD.
20.甲、乙兩同學用一副撲克牌中牌面數字分別是：3，4，5，6的4張牌做抽數學游戲.游戲規(guī)則是：將這4張牌的正面全部朝下，洗勻，從中隨機抽取一張，抽得的數作為十位上的數字，然后，將所抽的牌放回，正面全部朝下、洗勻，再從中隨機抽取一張，抽得的數作為個位上的數字，這樣就得到一個兩位數.若這個兩位數小于45，則甲獲勝，否則乙獲勝.你認為這個游戲公平嗎?請運用概率知識說明理由.
【考點】游戲公平性.
【分析】游戲是否公平，關鍵要看是否游戲雙方贏的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數目是否相等.
【解答】解：這個游戲不公平，游戲所有可能出現的結果如下表：
第二次第一次 3 4 5 6
3 33 34 35 36
4 43 44 45 46
5 53 54 55 56
6 63 64 65 66
表中共有16種等可能結果，小于45的兩位數共有6種.
∴P(甲獲勝)= ，P(乙獲勝)= .
∵ ，
∴這個游戲不公平.
21.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一個公共點A，點G、E分別在線段AD、AB上，若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，連接DG，在旋轉的過程中，你能否找到一條線段的長與線段DG的長度始終相等?并說明理由.
【考點】正方形的性質;全等三角形的判定與性質.
【分析】觀察DG的位置，找包含DG的三角形，要使兩條線段相等，只要找到與之全等的三角形，即可找到與之相等的線段.
【解答】解：連接BE，則BE=DG.
理由如下：
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD﹣∠BAG=∠EAG﹣∠BAG，即∠DAG=∠BAE，
則 ，
∴△BAE≌△DAG(SAS)，
∴BE=DG.
22.如圖是函數y= 與函數y= 在第一象限內的圖象，點P是y= 的圖象上一動點，PA⊥x軸于點A，交y= 的圖象于點C，PB⊥y軸于點B，交y= 的圖象于點D.
(1)求證：D是BP的中點;
(2)求四邊形ODPC的面積.
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.
【分析】(1)根據函數圖象上的點滿足函數解析式，可得P、D點坐標，根據線段中點的定義，可得答案;
(2)根據圖象割補法，可得面積的和差，可得答案.
【解答】(1)證明：∵點P在函數y= 上，
∴設P點坐標為( ，m).
∵點D在函數y= 上，BP∥x軸，
∴設點D坐標為( ，m)，
由題意，得
BD= ，BP= =2BD，
∴D是BP的中點.
(2)解：S四邊形OAPB= •m=6，
設C點坐標為(x， )，D點坐標為( ，y)，
S△OBD= •y• = ，
S△OAC= •x• = ，
S四邊形OCPD=S四邊形PBOA﹣S△OBD﹣S△OAC=6﹣ ﹣ =3.
23.如圖，已知二次函數y=﹣ +bx+c的圖象經過A(2，0)、B(0，﹣6)兩點.
(1)求這個二次函數的解析式;
(2)設該二次函數的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)二次函數圖象經過A(2，0)、B(0，﹣6)兩點，兩點代入y=﹣ +bx+c，算出b和c，即可得解析式.(2)先求出對稱軸方程，寫出C點的坐標，計算出AC，然后由面積公式計算值.
【解答】解：(1)把A(2，0)、B(0，﹣6)代入y=﹣ +bx+c，
得：
解得 ，
∴這個二次函數的解析式為y=﹣ +4x﹣6.
(2)∵該拋物線對稱軸為直線x=﹣ =4，
∴點C的坐標為(4，0)，
∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，
∴S△ABC= ×AC×OB= ×2×6=6.
24.如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點D，點E為BC的中點，連接DE.
(1)求證：DE是半圓⊙O的切線.
(2)若∠BAC=30°，DE=2，求AD的長.
【考點】切線的判定.
【分析】(1)連接OD，OE，由AB為圓的直徑得到三角形BCD為直角三角形，再由E為斜邊BC的中點，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE為公共邊，利用SSS得到三角形OBE與三角形ODE全等，由全等三角形的對應角相等得到DE與OD垂直，即可得證;
(2)在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC為AC的一半，根據BC=2DE求出BC的長，確定出AC的長，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC為等邊三角形，可得出DC的長，由AC﹣CD即可求出AD的長.
【解答】(1)證明：連接OD，OE，BD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE(SSS)，
∴∠ODE=∠ABC=90°，
則DE為圓O的切線;
(2)在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC= AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2，
則AD=AC﹣DC=6.
25.某工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池(平面圖如圖ABCD所示).由于地形限制，三級污水處理池的長、寬都不能超過16米.如果池的外圍墻建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建造單價為每米300元，池底建造單價為每平方米80元.(池墻的厚度忽略不計)當三級污水處理池的總造價為47200元時，求池長x.
【考點】一元二次方程的應用.
【分析】本題的等量關系是池底的造價+外圍墻的造價+中間隔墻的造價=47200元，由此可列方程求解.
【解答】解：根據題意，得
2(x+ ×400)+2× ×300+200×80=47200，
整理，得
x2﹣39x+350=0.
解得 x1=25，x2=14.
∵x=25>16，
∴x=25不合題意，舍去.
∵x=14<16， = <16，
∴x=14符合題意.
所以，池長為14米.
26.在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣4經過A(﹣4，0)，C(2，0)兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S.求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值;
(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=﹣x上的動點，點B是拋物線與y軸交點.判斷有幾個位置能夠使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，然后把點A、B、C的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求解即可;
(2)根據圖形的割補法，可得二次函數，根據拋物線的性質求出第三象限內二次函數的最值，然后即可得解;
(3)利用直線與拋物線的解析式表示出點P、Q的坐標，然后求出PQ的長度，再根據平行四邊形的對邊相等列出算式，然后解關于x的一元二次方程即可得解.
【解答】解：(1)將A(﹣4，0)，C(2，0)兩點代入函數解析式，得
解得
所以此函數解析式為：y= x2+x﹣4;
(2)∵M點的橫坐標為m，且點M在這條拋物線上，
∴M點的坐標為：(m， m2+m﹣4)，
∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB
= ×4×( m2+m﹣4)+ ×4×(﹣m)﹣ ×4×4
=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8
=﹣m2﹣4m
=﹣(m+2)2+4，
∵﹣4
當m=﹣2時，S有最大值為：S=﹣4+8=4.
答：m=﹣2時S有最大值S=4.
(3)∵點Q是直線y=﹣x上的動點，
∴設點Q的坐標為(a，﹣a)，
∵點P在拋物線上，且PQ∥y軸，
∴點P的坐標為(a， a2+a﹣4)，
∴PQ=﹣a﹣( a2+a﹣4)=﹣ a2﹣2a+4，
又∵OB=0﹣(﹣4)=4，
以點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴|PQ|=OB，
即|﹣ a2﹣2a+4|=4，
?、侃?a2﹣2a+4=4時，整理得，a2+4a=0，
解得a=0(舍去)或a=﹣4，
﹣a=4，
所以點Q坐標為(﹣4，4)，
?、讴?a2﹣2a+4=﹣4時，整理得，a2+4a﹣16=0，
解得a=﹣2±2 ，
所以點Q的坐標為(﹣2+2 ，2﹣2 )或(﹣2﹣2 ，2+2 ).
綜上所述，Q坐標為(﹣4，4)或(﹣2+2 ，2﹣2 )或(﹣2﹣2 ，2+2 )時，使點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形.
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