北京東城區(qū)九年級數(shù)學(xué)上冊期末試題
北京東城區(qū)九年級數(shù)學(xué)上冊期末試題
為即將到來的九年級的額數(shù)學(xué)期末考試，教師們要如何準(zhǔn)備好的期末試題呢？下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于北京東城區(qū)九年級數(shù)學(xué)上冊期末試題，希望會給大家?guī)韼椭?/p>
北京東城區(qū)九年級數(shù)學(xué)上冊期末試題：
一.選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的，請把正確選項寫在題后的表格中，不選、錯選或多選的，一律得0分.
1.若 = ，則 的值為( )
【考點】比例的性質(zhì).
【專題】計算題.
【分析】根據(jù)合分比性質(zhì)求解.
【解答】
故選D.
【點評】考查了比例性質(zhì)：常見比例的性質(zhì)有內(nèi)項之積等于外項之積;合比性質(zhì);分比性質(zhì);合分比性質(zhì);等比性質(zhì).
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，下列等式中不一定成立的是( )
A.b=atanB B.a=ccosB C. D.a=bcosA
【考點】銳角三角函數(shù)的定義.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以解決.
【解答】解：∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，
∴A、tanB= ，則b=atanB，故本選項正確，
B、cosB= ，故本選項正確，
C、sinA= ，故本選項正確，
D、cosA= ，故本選項錯誤，
故選D.
【點評】此題考查直角三角形中兩銳角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，難度適中.
3.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OA、OB，∠OBA=50°，則∠C的度數(shù)為( )
A.30° B.40° C.50° D.80°
【考點】圓周角定理.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠AOB的度數(shù)，再進一步根據(jù)圓周角定理求解.
【解答】解：∵OA=OB，∠OBA=50°，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，
∴∠C= ∠AOB=40°.
故選：B.
【點評】此題綜合運用了三角形的內(nèi)角和定理以及圓周角定理.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
4.如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是( )
A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C. = D. =
【考點】相似三角形的判定.
【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可.
【解答】解：A、當(dāng)∠ABP=∠C時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤;
B、當(dāng)∠APB=∠ABC時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤;
C、當(dāng) = 時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤;
D、無法得到△ABP∽△ACB，故此選項正確.
故選：D.
【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵.
5.如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為( )
A.5cosα B. C.5sinα D.
【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
【專題】壓軸題.
【分析】利用所給的角的余弦值求解即可.
【解答】解：∵BC=5米，∠CBA=∠α.
∴AB= = .
故選：B.
【點評】此題主要考查學(xué)生對坡度、坡角的理解及運用.
6.某同學(xué)在用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算錯了其中一個y值，則這個錯誤的數(shù)值是( )
A.﹣11 B.﹣2 C.1 D.﹣5
【考點】二次函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)關(guān)于對稱軸對稱的自變量對應(yīng)的函數(shù)值相等，可得答案.
【解答】解：由函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱，得
(﹣1，﹣2)，(0，1)，(1，2)在函數(shù)圖象上，
把(﹣1，﹣2)，(0，1)，(1，﹣2)代入函數(shù)解析式，得
，
解得 ，
函數(shù)解析式為y=﹣3x2+1
x=2時y=﹣11，
故選：D.
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱是解題關(guān)鍵.
7.如圖，已知⊙O的半徑為5，點O到弦AB的距離為3，則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點】垂徑定理;勾股定理.
【分析】根據(jù)垂徑定理計算.
【解答】解：如圖OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，
∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2cm，
∴點D是圓上到AB距離為2cm的點，
∵OE=3cm>2cm，
∴在OD上截取OH=1cm，
過點H作GF∥AB，交圓于點G，F(xiàn)兩點，
則有HE⊥AB，HE=OE﹣OH=2cm，
即GF到AB的距離為2cm，
∴點G，F(xiàn)也是圓上到AB距離為2cm的點.
故選C.
【點評】本題利用了垂徑定理求解，注意圓上的點到AB距離為2cm的點不唯一，有三個.
8.若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為2，則其內(nèi)切圓半徑的長為( )
A. B.2 ﹣2 C.2﹣ D. ﹣2
【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;等腰三角形的性質(zhì);三角形的外接圓與外心.
【分析】由于直角三角形的外接圓半徑是斜邊的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜邊長，進而可求得兩條直角邊的長;然后根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求出內(nèi)切圓半徑的長.
【解答】解：∵等腰直角三角形外接圓半徑為2，
∴此直角三角形的斜邊長為4，兩條直角邊分別為2 ，
∴它的內(nèi)切圓半徑為：R= (2 +2 ﹣4)=2 ﹣2.
故選B.
【點評】本題考查了三角形的外接圓和三角形的內(nèi)切圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，要注意直角三角形內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的區(qū)別：直角三角形的內(nèi)切圓半徑：r= (a+b﹣c);(a、b為直角邊，c為斜邊)直角三角形的外接圓半徑：R= c.
9.如圖，在▱ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，若EF：AF=2：5，則S△DEF：S四邊形EFBC為( )
A.2：5 B.4：25 C.4：31 D.4：35
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可證明△DEF∽△BAF，可求得△DEF和△AFE、△ABF的面積之間的關(guān)系，從而可求得△DEF和△BCD的面積之間的關(guān)系，可求得答案.
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ = = ，
∴ =( )2= ， = =
設(shè)S△DEF=S，則S△ABF= S，S△ADF= S，
∴S△ABD=S△ADF+S△ABF= S+ S= S，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴S△ABD=S△DBC= S，
∴S四邊形EFBC=S△BDC﹣S△DEF= S﹣S= S，
∴S△DEF：S四邊形EFBC=4：31.
故選C.
【點評】本題主要考查平行四邊形和相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)條件找到△DEF和△DBC的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
10.如圖，等腰Rt△ABC(∠ACB=90°)的直角邊與正方形DEFG的邊長均為2，且AC與DE在同一直線上，開始時點C與點D重合，讓△ABC沿這條直線向右平移，直到點A與點E重合為止.設(shè)CD的長為x，△ABC與正方形DEFG重合部分(圖中陰影部分)的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】動點問題的函數(shù)圖象.
【專題】幾何圖形問題;壓軸題.
【分析】此題可分為兩段求解，即C從D點運動到E點和A從D點運動到E點，列出面積隨動點變化的函數(shù)關(guān)系式即可.
【解答】解：設(shè)CD的長為x，△ABC與正方形DEFG重合部分(圖中陰影部分)的面積為y∴
當(dāng)C從D點運動到E點時，即0≤x≤2時，y= = .
當(dāng)A從D點運動到E點時，即2
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系
由函數(shù)關(guān)系式可看出A中的函數(shù)圖象與所求的分段函數(shù)對應(yīng).
故選：A.
【點評】本題考查的動點變化過程中面積的變化關(guān)系，重點是列出函數(shù)關(guān)系式，但需注意自變量的取值范圍.
二.填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)
11.拋物線y=x2﹣4x+m與x軸的一個交點的坐標(biāo)為(1，0)，則此拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo)是 (3，0) .
【考點】拋物線與x軸的交點.
【專題】方程思想.
【分析】把交點坐標(biāo)代入拋物線解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交點的橫坐標(biāo).
【解答】解：把點(1，0)代入拋物線y=x2﹣4x+m中，得m=3，
所以，原方程為y=x2﹣4x+3，
令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，
∴拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo)是(3，0).
故答案為：(3，0).
【點評】本題考查了點的坐標(biāo)與拋物線解析式的關(guān)系，拋物線與x軸交點坐標(biāo)的求法.本題也可以用根與系數(shù)關(guān)系直接求解.
12.如圖，點A是反比例函數(shù)y= 圖象上的一個動點，過點A作AB⊥x軸，AC⊥y軸，垂足點分別為B、C，矩形ABOC的面積為4，則k= ﹣4 .
【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【分析】由于點A是反比例函數(shù)y= 上一點，矩形ABOC的面積S=|k|=4，則k的值即可求出.
【解答】解：由題意得：S矩形ABOC=|k|=4，又雙曲線位于第二、四象限，則k=﹣4，
故答案為：﹣4.
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)y= 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點.
13.已知△ABC的邊BC=4cm，⊙O是其外接圓，且半徑也為4cm，則∠A的度數(shù)是 30°或150° .
【考點】三角形的外接圓與外心;等邊三角形的判定與性質(zhì);圓周角定理.
【專題】壓軸題.
【分析】利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得出∠BOC=60°，再利用圓周角定理得出答案.
【解答】解：如圖：連接BO，CO，
∵△ABC的邊BC=4cm，⊙O是其外接圓，且半徑也為4cm，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°.
若點A在劣弧BC上時，∠A=150°.
∴∠A=30°或150°.
故答案為：30°或150°.
【點評】此題主要考查了三角形的外接圓與外心以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理等知識，得出△OBC是等邊三角形是解題關(guān)鍵.
14.如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上的一個動點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC，BC，作∠APC的平分線交AC于點D.
下列結(jié)論正確的是?、冖邰堋?寫出所有正確結(jié)論的序號)
?、佟鰿PD∽△DPA;
?、谌?ang;A=30°，則PC= BC;
?、廴?ang;CPA=30°，則PB=OB;
?、軣o論點P在AB延長線上的位置如何變化，∠CDP為定值.
【考點】切線的性質(zhì);三角形的角平分線、中線和高;三角形的外角性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】幾何綜合題.
【分析】①只有一組對應(yīng)邊相等，所以錯誤;
?、诟鶕?jù)切線的性質(zhì)可得∠PCB=∠A=30°，在直角三角形ABC中∠ABC=60°得出OB=BC，∠BPC=30°，解直角三角形可得PB= OC= BC;
?、鄹鶕?jù)切線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可求得∠A=∠PCB=30°，∠ABC=60°，進而求得PB=BC=OB;
?、苓B接OC，根據(jù)題意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°.
【解答】解：①∵∠CPD=∠DPA，∠CDP=∠DAP+∠DPA≠∠DAP≠∠PDA，
∴△CPD∽△DPA錯誤;
②連接OC，
∵AB是直徑，∠A=30°
∴∠ABC=60°，
∴OB=OC=BC，
∵PC是切線，
∴∠PCB=∠A=30°，∠OCP=90°，
∴∠APC=30°，
∴在RT△POC中，cot∠APC=cot30°= = ，
∴PC= BC，正確;
③∵∠ABC=∠APC+∠PCB，∠PCB=∠A，
∴∠ABC=∠APC+∠A，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠APC+2∠A=90°，
∵∠APC=30°，
∴∠A=∠PCB=30°，
∴PB=BC，∠ABC=60°，
∴OB=BC=OC，
∴PB=OB;正確;
?、芙猓喝鐖D，連接OC，
∵OC=OA，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∵∠CPO+∠COP=90°，
∴(∠CPD+∠DPA)+(∠A+∠ACO)=90°，
∴∠DPA+∠A=45°，
即∠CDP=45°;正確;
故答案為：②③④;
【點評】本題主要考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于作好輔助線構(gòu)建直角三角形和等腰三角形.
三.(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
15.計算：4sin60°+tan45°﹣ .
【考點】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】直接把各特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可.
【解答】解：原式=4× +1﹣2
=1.
【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵.
16.已知二次函數(shù)y=ax2+4x+2的圖象經(jīng)過點A(3，﹣4).
(1)求a的值;
(2)求此函數(shù)圖象拋物線的頂點坐標(biāo);
(3)直接寫出函數(shù)y隨自變量增大而減小的x的取值范圍.
【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】(1)將點A(3，﹣4)代入y=ax2+4x+2，即可求出a的值;
(2)利用配方法將一般式化為頂點式，即可求出此函數(shù)圖象拋物線的頂點坐標(biāo);
(3)根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可求解.
【解答】解：(1)∵二次函數(shù)y=ax2+4x+2的圖象經(jīng)過點A(3，﹣4)，
∴9a+12+2=﹣4，
∴a=﹣2;
(2)∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2(x﹣1)2+4，
∴頂點坐標(biāo)為(1，4);
(3)∵y=﹣2x2+4x+2中，a=﹣2<0，
拋物線開口向下，對稱軸為直線x=1，
∴當(dāng)x>1時，函數(shù)y隨自變量增大而減小.
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì).二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)是(﹣ ， )，對稱軸直線x=﹣ ，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象具有如下性質(zhì)：
①當(dāng)a>0時，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口向上，x<﹣ 時，y隨x的增大而減小;x>﹣ 時，y隨x的增大而增大;x=﹣ 時，y取得最小值 ，即頂點是拋物線的最低點.
?、诋?dāng)a<0時，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口向下，x<﹣ 時，y隨x的增大而增大;x>﹣ 時，y隨x的增大而減小;x=﹣ 時，y取得最大值 ，即頂點是拋物線的最高點.
四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
17.如圖，在6×4的正方形方格中，△ABC的頂點A、B、C在單位正方形的格點上.請按要求畫圖：
(1)以點B為位似中心，在方格內(nèi)將△ABC放大為原來的2倍，得到△EBD，且點D、E都在單位正方形的頂點上.
(2)在方格中作一個△FGH，使△FGH∽△ABC，且相似比為 ，點F、G、H都在單位正方形的頂點上.
【考點】作圖-位似變換;作圖—相似變換.
【分析】(1)直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案;
(2)直接利用相似三角形的性質(zhì)得出各邊長度進而得出答案.
【解答】解：(1)如圖所示：△EBD即為所求;
(2)如圖所示：△FGH即為所求.
【點評】此題主要考查了位似變換和相似變換，根據(jù)題意得出對應(yīng)邊的長度是解題關(guān)鍵.
18.如圖，MN經(jīng)過△ABC的頂點A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D.
(1)求證：△ADE∽△ABC;
(2)連結(jié)DE，如果DE=1，BC=3，求MN的長.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)MN∥BC，得到 ， ，等量代換得到 ，根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù) ，得到DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到 ，于是推出 ，即 ，即可得到結(jié)論.
【解答】(1)證明：∵MN∥BC，
∴ ， ，
又∵AM=AN，
∴ ，
∴△ADE∽△ABC;
(2)解：∵ ，
∴DE∥BC，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴AM= BC= ，
∴MN=2AM=3.
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)
19.如圖，已知點I是△ABC的內(nèi)心，AI交BC于D，交外接圓O于E，求證：
(1)IE=EC;
(2)IE2=ED•EA.
【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.
【分析】(1)由內(nèi)心的性質(zhì)可知;∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE，由圓周角定理可知∠BCE=∠BAE，從而得到∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE，從而得到∠EIC=∠ICE，于是得到IE=EC;
(2)先證明DCE∽△CAE，從而可得到CE2=DE•EA，由IE=EC從而得到IE2=DE•EA.
【解答】解：(1)如圖所示;連接IC.
∵點I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE.
又∵∠BAE=∠BCE，
∴∠CAE=∠BCE.
∴∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE.
∴∠EIC=∠ICE.
∴IE=EC.
(2)由(1)可知：∠CAE=∠BCE.
又∵∠AEC=∠DEC，
∴△DCE∽△CAE.
∴ .
∴CE2=DE•EA.
∵IE=EC，
∴IE2=DE•EA.
【點評】本題主要考查的是三角形的內(nèi)切圓、相似三角形的性質(zhì)和判定、圓周角定理，明確三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點是解題的關(guān)鍵.
20.為了弘揚“社會主義核心價值觀”，市政府在廣場樹立公益廣告牌，如圖所示，為固定廣告牌，在兩側(cè)加固鋼纜，已知鋼纜底端D距廣告牌立柱距離CD為3米，從D點測得廣告牌頂端A點和底端B點的仰角分別是60°和45°.
(1)求公益廣告牌的高度AB;
(2)求加固鋼纜AD和BD的長.(注意：本題中的計算過程和結(jié)果均保留根號)
【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】(1)根據(jù)已知和tan∠ADC= ，求出AC，根據(jù)∠BDC=45°，求出BC，根據(jù)AB=AC﹣BC求出AB;
(2)根據(jù)cos∠ADC= ，求出AD，根據(jù)cos∠BDC= ，求出BD.
【解答】解：(1)在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，
∵tan∠ADC= ，
∴AC=3•tan60°=3 ，
在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=3，
∴AB=AC﹣BC=(3 ﹣3)米.
(2)在Rt△ADC中，∵cos∠ADC= ，
∴AD= = =6米，
在Rt△BDC中，∵cos∠BDC= ，
∴BD= = =3 米.
【點評】本題考查的是解直角三角形的知識，掌握仰角的概念和銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.
六、(本題滿分12分)
21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1=ax+b(a，b為常數(shù)，且a≠0)與反比例函數(shù)y2= (m為常數(shù)，且m≠0)的圖象交于點A(﹣2，1)、B(1，n).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)連結(jié)OA、OB，求△AOB的面積;
(3)直接寫出當(dāng)y1
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)將A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出m的值，即可確定出反比例函數(shù)解析式;將B坐標(biāo)代入反比例解析式中求出n的值，確定出B坐標(biāo)，將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出a與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式;
(2)設(shè)直線AB與y軸交于點C，求得點C坐標(biāo)，S△AOB=S△AOC+S△COB，計算即可;
(3)由圖象直接可得自變量x的取值范圍.
【解答】解：(1)∵A(﹣2，1)，
∴將A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)2= 中，得m=﹣2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣ ;
將B坐標(biāo)代入y=﹣ ，得n=﹣2，
∴B坐標(biāo)(1，﹣2)，
將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，得 ，
解得a=﹣1，b=﹣1，
∴一次函數(shù)解析式為y1=﹣x﹣1;
(2)設(shè)直線AB與y軸交于點C，
令x=0，得y=﹣1，
∴點C坐標(biāo)(0，﹣1)，
∴S△AOB=S△AOC+S△COB= ×1×2+ ×1×1= ;
(3)由圖象可得，當(dāng)y11.
【點評】本題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積的求法，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.
七、(本題滿分12分)
22.對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似;如果沿周界按對應(yīng)點順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似.例如，如圖①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與A′B′C′A′環(huán)繞的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互為順相似;如圖②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與A′B′C′A′環(huán)繞的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互為逆相似.
(1)根據(jù)圖Ⅰ，圖Ⅱ和圖Ⅲ滿足的條件.可得下列三對相似三角形：①△ADE與△ABC;②△GHO與△KFO;③△NQP與△NMQ;其中，互為順相似的是 ①② ;互為逆相似的是?、邸?(填寫所有符合要求的序號).
(2)如圖③，在銳角△ABC中，∠A<∠B<∠C，點P在△ABC的邊AB上(不與點A，B重合).過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC互為逆相似.請根據(jù)點P的不同位置，探索過點P的截線的情形，請在備用圖中畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明理由.
【考點】相似形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)互為順相似和互為逆相似的定義即可作出判斷;
(2)根據(jù)點P在△ABC邊上的位置分為三種情況，需要分類討論，逐一分析求解即可.
【解答】解：(1)互為順相似的是 ①②;互為逆相似的是 ③;
故答案為：①②，③;
(2)根據(jù)點P在△ABC邊上的位置分為以下三種情況：
第一種情況：如圖①，點P在BC(不含點B、C)上，過點P只能畫出2條截線PQ1、PQ2，分別使∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A，此時△PQ1C、△PBQ2都與△ABC互為逆相似.
第二種情況：如圖②，點P在AC(不含點A、C)上，過點B作∠CBM=∠A，BM交AC于點M.
當(dāng)點P在AM(不含點M)上時，過點P1只能畫出1條截線P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此時△AP1Q與△ABC互為逆相似;
當(dāng)點P在CM上時，過點P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此時△AP2Q1、△Q2P2C都與△ABC互為逆相似.
第三種情況：如圖③，點P在AB(不含點A、B)上，過點C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分別交AB于點D、E.
當(dāng)點P在AD(不含點D)上時，過點P只能畫出1條截線P1Q，使∠AP1Q=∠ACB，此時△AQP1與△ABC互為逆相似;
當(dāng)點P在DE上時，過點P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使∠AP2Q1=∠ACB，∠BP2Q2=∠BCA，此時△AQ1P2、△Q2BP2
都與△ABC互為逆相似;
當(dāng)點P在BE(不含點E)上時，過點P3只能畫出1條截線P3Q′，使∠BP3Q′=∠BCA，此時△Q′BP3與△ABC互為逆相似.
【點評】本題是創(chuàng)新型2016屆中考壓軸題，主要考查了相似三角形的知識點、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及接受與理解新生事物的能力.準(zhǔn)確理解題設(shè)條件中“順相似”“逆相似”的定義是正確解題的先決條件，在分析與解決問題的過程中，要考慮全面，進行分類討論，避免漏解.
八、(本題滿分14分)
23.某電子科技公司開發(fā)一種新產(chǎn)品，公司對經(jīng)營的盈虧情況每月最后一天結(jié)算1次.在1～12月份中，公司前x個月累計獲得的總利潤y(萬元)與銷售時間x(月)之間滿足二次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=a(x﹣h)2+k，二次函數(shù)y=a(x﹣h)2+k的一部分圖象如圖所示，點A為拋物線的頂點，且點A、B、C的橫坐標(biāo)分別為4、10、12，點A、B的縱坐標(biāo)分別為﹣16、20.
(1)試確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=a(x﹣h)2+k;
(2)分別求出前9個月公司累計獲得的利潤以及10月份一個月內(nèi)所獲得的利潤;
(3)在前12個月中，哪個月該公司一個月內(nèi)所獲得的利潤最多?最多利潤是多少萬元?
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)題意此拋物線的頂點坐標(biāo)為(4，﹣16)，設(shè)出拋物線的頂點式，把(10，20)代入即可求出a的值，把a的值代入拋物線的頂點式中即可確定出拋物線的解析式;
(2)相鄰兩個月份的總利潤的差即為某月利潤.
(3)根據(jù)前x個月內(nèi)所獲得的利潤減去前x﹣1個月內(nèi)所獲得的利潤，再減去16即可表示出第x個月內(nèi)所獲得的利潤，為關(guān)于x的一次函數(shù)，且為增函數(shù)，得到x取最大為12時，把x=12代入即可求出最多的利潤.
【解答】解：(1)根據(jù)題意可設(shè)：y=a(x﹣4)2﹣16，
當(dāng)x=10時，y=20，
所以a(10﹣4)2﹣16=20，解得a=1，
所求函數(shù)關(guān)系式為：y=(x﹣4)2﹣16.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)當(dāng)x=9時，y=(9﹣4)2﹣16=9，所以前9個月公司累計獲得的利潤為9萬元，
又由題意可知，當(dāng)x=10時，y=20，而20﹣9=11，
所以10月份一個月內(nèi)所獲得的利潤11萬元.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(3)設(shè)在前12個月中，第n個月該公司一個月內(nèi)所獲得的利潤為s(萬元)
則有：s=(n﹣4)2﹣16﹣[(n﹣1﹣4)2﹣16]=2n﹣9，
因為s是關(guān)于n的一次函數(shù)，且2>0，s隨著n的增大而增大，
而n的最大值為12，所以當(dāng)n=12時，s=15，
所以第12月份該公司一個月內(nèi)所獲得的利潤最多，最多利潤是15萬元.﹣﹣
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生會利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，靈活運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實際問題，是一道綜合題.
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