復(fù)合函數(shù)定義域求法
復(fù)合函數(shù)是數(shù)字內(nèi)的一種函數(shù)。以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于復(fù)合函數(shù)定義域以及復(fù)合函數(shù)定義域求法，歡迎大家前來閱讀!
復(fù)合函數(shù)定義域
若函數(shù)=()的定義域是B,=()的定義域是A,則復(fù)合函數(shù)=[()]的定義域是
D={|∈A,且()∈B}綜合考慮各部分的x的取值范圍，取他們的交集。
求函數(shù)的定義域主要應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)：
⑴當(dāng)為整式或奇次根式時(shí)，R;
?、飘?dāng)為偶次根式時(shí)，被開方數(shù)不小于0(即≥0);
?、钱?dāng)為分式時(shí)，分母不為0;當(dāng)分母是偶次根式時(shí)，被開方數(shù)大于0;
?、犬?dāng)為指數(shù)式時(shí)，對(duì)零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，底不為0(如，中)。
?、僧?dāng)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，它的定義域應(yīng)是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。
?、史侄魏瘮?shù)的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。
?、擞蓪?shí)際問題建立的函數(shù)，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實(shí)際意義對(duì)自變量的要求
?、虒?duì)于含參數(shù)字母的函數(shù)，求定義域時(shí)一般要對(duì)字母的取值情況進(jìn)行分類討論，并要注意函數(shù)的定義域?yàn)榉强占稀?/p>
?、蛯?duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，底數(shù)大于零且不等于1。
⑽三角函數(shù)中的切割函數(shù)要注意對(duì)角變量的限制。
復(fù)合函數(shù)定義域求法
復(fù)合函數(shù)及其定義域求法(1)
一、復(fù)合函數(shù)的定義：設(shè)y是u的函數(shù)，即y=f(u),u是x的函數(shù)，即u=g(x)，且g(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，那么y通過u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為由y=f(u)，u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)記作y=f[g(x)],其中u稱為中間變量。
二、對(duì)高中復(fù)合函數(shù)的通解法——綜合分析法
1、解復(fù)合函數(shù)題的關(guān)鍵之一是寫出復(fù)合過程
例1：指出下列函數(shù)的復(fù)合過程。
(1)y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x
解：(1) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2復(fù)合而成的。
(2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x復(fù)合而成的。
(3)∵y=sin3x=(sinx)-3
∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx復(fù)合而成的。
2、解復(fù)合函數(shù)題的關(guān)鍵之二是正確理解復(fù)合函數(shù)的定義。
看下例題：例2：已知f(x+3)的定義域?yàn)閇1、2],求f(2x-5) 的定義域。
經(jīng)典誤解1：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3復(fù)合而成的。
F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5復(fù)合而成的。
由g(x),G(x)得：u2=2x-11 即：y=f(u2),u2=2x-11
∵f(u1)的定義域?yàn)閇1、2]
∴1≤x﹤2
∴-9≤2x-11﹤-6
即：y=f(u2)的定義域?yàn)閇-9、-6]
∴f(2x-5)的定義域?yàn)閇-9、-6]
經(jīng)典誤解2：解：∵f(x+3)的定義域?yàn)閇1、2]
∴1≤x+3﹤2
∴-2≤x﹤-1
∴-4≤2x﹤-2
∴-9≤2x-5﹤-7
∴f(2x-5)的定義域?yàn)閇-9、-7]
注：通過以上兩例誤解可得，解高中復(fù)合函數(shù)題會(huì)出錯(cuò)主要原因是對(duì)復(fù)合函數(shù)的概念的理解模棱兩可，從定義域中找出“y”通過u的聯(lián)系成為x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為由y=f(u),u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f[g(x)],其中u稱為“中間變量”。從以上誤解中找出解題者易將f(x+3)的定義域理解成(x+3)的取值范圍，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。而從定義中可以看出u僅僅是中間變量，即u既不是自變量也不是因變量。復(fù)合函數(shù)的定義域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范圍，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其定義域是x的取值范圍。
正確解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)復(fù)合而成的。
f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5復(fù)合而成的
∵1≤x1﹤2
∴4≤u1﹤5
∴4≤u2﹤5
∴4≤2x2-5﹤5
∴2≤x2﹤5
∴f(2x-5)的定義域?yàn)閇2、5]
結(jié)論：解高中復(fù)合函數(shù)題要注意復(fù)合函數(shù)的分層，即u為第一層，x為第二層，一、二兩層是不可以直接建立關(guān)系的，在解題時(shí)，一定是同層考慮，不可異層考慮，若異層考慮則會(huì)出現(xiàn)經(jīng)典誤解1與2的情況。
復(fù)合函數(shù)定義域求法(2)
一、求高中復(fù)合函數(shù)定義域的題型
題型一：?jiǎn)螌?duì)單，如：已知f(x)的定義域?yàn)閇-1,4],求f(x+2)的定義域。
題型二：多對(duì)多，如：已知f(x+3)的定義域?yàn)閇1、2],求f(2x-5)的定義域。
題型三：?jiǎn)螌?duì)多，如：已知f(x)的定義域?yàn)閇0、1],求f(2x-1)的定義域。
題型四：多對(duì)單，如：已知f(2x-1)的定義域?yàn)閇0、1],求f(x)的定義域。
注：通解法——綜合分析法的關(guān)鍵兩步：
第一步：寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。
第二步：找出復(fù)合函數(shù)定義域所真正指代的字母(最為關(guān)鍵)
下面用綜合分析法解四個(gè)題型
題型一：?jiǎn)螌?duì)單：
例3：已知f(x)的定義域?yàn)閇-1、4],求f(x2)的定義域。
第1步：寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程：
f(x2)是由y=f(u),u=x22復(fù)合而成的。
(由于要同層考慮，且u與x的取值范圍相同，故可這樣變形)
f(x)是由y=f(u),u=x1復(fù)合而成的。
∴f(x)的定義域?yàn)閇-1、4]
第2步：找出復(fù)合函數(shù)定義域的真正對(duì)應(yīng)
∴-1≤x1﹤4
即-1≤u﹤4
又∵u=x22
∴-1≤x22﹤4
(x2是所求f(x2)的定義域，此點(diǎn)由定義可找出)
∴-2﹤x2﹤2
∴f(x2)的定義域?yàn)?-2,2)
結(jié)論：此題中的自變量x1,x2通過u聯(lián)系起來，故可求解。
題型二：多對(duì)多：
如例6：已知f(x+3)的定義域?yàn)閇1、2],求f(2x-5)的定義域。
解析：多對(duì)多的求解是比較復(fù)雜的，但由解題型三與題型四的結(jié)論：
已知 f(x)的定義域,可求出y=f[g(x)]的定義域”
已知y=f[g(x)]的定義域,可求出f(x)的定義域
可以推出f(x)與y=f[g(x)]可以互求。
若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),
同理，已知y1=f(x+3)的定義域，
故,
這里f(x)成為了聯(lián)系y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一個(gè)橋梁，
其作用與以上解題中u所充當(dāng)?shù)淖饔孟嗤?/p>
所以，在多對(duì)多的題型中，可先利用開始給出的復(fù)合函數(shù)的定義域先求出f(x)，再以f(x)為跳板求出所需求的復(fù)合函數(shù)的定義域，具體步驟如下：
第一步：寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程:
f(x+3)是由y=f(u)u=x+3復(fù)合而成的。
f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5復(fù)合而成的。
∴4≤x+3≤5
∴4≤u≤5
設(shè)：函數(shù)y3=(u),u=x
∴y3=f(x)的定義域?yàn)閇4、5]
第三步：通過橋梁f(x)進(jìn)而求出y2=f(2x-5):
f(x) 是由y3=f(u),u=x復(fù)合而成的
∵4≤x≤5
∴4≤u≤5
∴4≤2x-5≤5
∴ ≤x2≤5
∴f(2x-5)的定義域?yàn)椋篬5]
小結(jié)：實(shí)際上，此題也可以u(píng)為橋梁求出f(2x-5), 詳參照例2的解法。
題型三：?jiǎn)螌?duì)多：
例4：已知f(x)的定義域?yàn)閇0,1],求f(2x-1)的定義域。
第1步：寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程：
f(x)是由y=f(u),u=x1復(fù)合而成的。
f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1復(fù)合而成.
第2步：找出復(fù)合函數(shù)定義域的真正對(duì)應(yīng)：
∵0≤x1≤1
∴0≤u≤1
∴0≤2x2-1≤1
∴x2≤1
∴f(2x-1)的定義域?yàn)閇，1]
結(jié)論：由此題的解答過程可以推出：已知f(x)的定義域可求出y=[g(x)]的定義域。
題型四：多對(duì)單：
如：例5：已知f(2x-1)的定義域?yàn)閇0、1],求f(x)的定義域。
第1步：寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程：
f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1復(fù)合而成的。
f(x)是由f(u),u=x2復(fù)合而成的。
第2步：找出復(fù)合函數(shù)定義域?qū)?yīng)的真正值：
∵0≤x1≤1
∴0≤2x1≤2
∴-1≤2x1-1≤1
∴-1≤u≤1
∴-1≤x2≤1
∴f(x)的定義域?yàn)閇-1、1]
結(jié)論：由此題的解答過程可以推出：已知y=f[g(x)]的定義域可求出f(x)的定義域。
小結(jié)：通過觀察題型一、題型三、題型四的解法可以看出，解題的關(guān)鍵在于通過u這個(gè)橋梁將x1與x2聯(lián)系起來解題。
二、將以上解答過程有機(jī)轉(zhuǎn)化為高中的標(biāo)準(zhǔn)解答模式。
如：例7：已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0、1]，求函數(shù)y=f(x2+1)的定義域。
解：∵函數(shù)f(x2+1)中的x2+1相當(dāng)于f(x)中的x(即u=x2+1,與u=x)
∴0≤x2+1≤1
∴-1≤x2≤0
∴x=0
∴定義域?yàn)閧0}
小結(jié)：本題解答的實(shí)質(zhì)是以u(píng)為橋梁求解。
例8：已知y=f(2x-1)的定義域?yàn)閇0、1],求函數(shù)y=f(x)的定義域。
解：由題意：0≤x≤1(即略去第二步，先找出定義域的真正對(duì)象)。
∴-1≤2x-1≤1(即求出u,以u(píng)為橋梁求出f(x)
視2x-1為一個(gè)整體(即u與u的交換)
則2x-1相關(guān)于f(x)中的x(即u與u的交換，
f(x)由y=f(u),u=x復(fù)合而成，-1≤u≤1,
∴-1≤x≤1)
∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1、1]
總結(jié)：綜合分析法分了3個(gè)步驟
寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。 找出復(fù)合函數(shù)定義域所指的代數(shù)。 找出解題中的橋梁(u或f(x)可為橋梁)
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