九年級數學上期末試卷答案(2)
九年級數學上期末試卷參考答案
一、選擇題：本大題共16個小題，1-6小題每小題2分，7-16小題每小題2分，共42分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確的答案的序號填寫在對應的括號內.
1.方程x2+1=2x的根是( )
A.x1=1，x2=﹣1 B.x1=x2=1
C.x1=x2=﹣1 D.x1=1+ ，x2=1﹣
【考點】解一元二次方程-配方法.
【分析】在本題中，把2x移項后，左邊是完全平方公式，再直接開方即可.
【解答】解：把方程x2+1=2x移項，得到x2﹣2x+1=0，
∴(x﹣1)2=0，
∴x﹣1=0，
∴x1=x2=1，
故選B.
【點評】配方法的一般步驟：
(1)把常數項移到等號的右邊;
(2)把二次項的系數化為1;
(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方.
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數.
2.在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m，同時測得一根旗桿的影長為25m，那么這根旗桿的高度為( )
A.10m B.12m C.15m D.40m
【考點】相似三角形的應用.
【分析】根據同時同地物高與影長成正比列式計算即可得解.
【解答】解：設旗桿高度為x米，
由題意得， = ，
解得：x=15.
故選：C.
【點評】本題考查了相似三角形的應用，主要利用了同時同地物高與影長成正比，需熟記.
3.一臺印刷機每年可印刷的書本數量y(萬冊)與它的使用時間x(年)成反比例關系，當x=2時，y=20.則y與x的函數圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】反比例函數的應用;反比例函數的圖象.
【分析】設y= (k≠0)，根據當x=2時，y=20，求出k，即可得出y與x的函數圖象.
【解答】解：設y= (k≠0)，
∵當x=2時，y=20，
∴k=40，
∴y= ，
則y與x的函數圖象大致是C，
故選：C.
【點評】此題考查了反比例函數的應用，關鍵是根據題意設出解析式，根據函數的解析式得出函數的圖象.
4.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以2.5cm為半徑作⊙C，則斜邊AB與⊙C的位置關系是( )
A.相交 B.相切 C.相離 D.無法確定
【考點】直線與圓的位置關系.
【分析】過C作CD⊥AB于D，根據勾股定理求出AB，根據三角形的面積公式求出CD，得出d
【解答】解：過C作CD⊥AB于D，如圖所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，
∴由勾股定理得：AB= = =5，
∵△ABC的面積= AC×BC= AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4<2.5，
即d
∴斜邊AB與⊙C的位置關系是相交，
故選：A.
【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積，直線和圓的位置關系的應用;解此題的關鍵是能正確作出輔助線，并進一步求出CD的長，注意：直線和圓的位置關系有：相離，相切，相交.
5.在正方形網格中，△ABC的位置如圖所示，則cosB的值為( )
A. B. C. D.
【考點】勾股定理;銳角三角函數的定義.
【專題】壓軸題;網格型.
【分析】先設小正方形的邊長為1，然后找個與∠B有關的RT△ABD，算出AB的長，再求出BD的長，即可求出余弦值.
【解答】解：設小正方形的邊長為1，則AB=4 ，BD=4，
∴cos∠B= = .
故選B.
【點評】本題考查了銳角三角函數的定義以及勾股定理的知識，此題比較簡單，關鍵是找出與角B有關的直角三角形.
6.關于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根為0，則m的值為( )
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.
【考點】一元二次方程的解.
【分析】方程的根即方程的解，把x=0代入方程即可得到關于m的方程，即可求得m的值.另外要注意m﹣1≠0這一條件.
【解答】解：根據題意得：m2﹣1=0且m﹣1≠0
解得m=﹣1
故選B.
【點評】本題主要考查方程的解的定義，容易忽視的條件是m﹣1≠0.
7.如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是( )
A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C. D.
【考點】相似三角形的判定.
【分析】先根據∠1=∠2求出∠BAC=∠DAE，再根據相似三角形的判定方法解答.
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠BAC，
A、添加∠C=∠E，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項錯誤;
B、添加∠B=∠ADE，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項錯誤;
C、添加 = ，可用兩邊及其夾角法判定△ABC∽△ADE，故本選項錯誤;
D、添加 = ，不能判定△ABC∽△ADE，故本選項正確;
故選D.
【點評】本題考查了相似三角形的判定，先求出兩三角形的一對相等的角∠BAC=∠DAE是確定其他條件的關鍵，注意掌握相似三角形的幾種判定方法.
8.如圖，關于拋物線y=(x﹣1)2﹣2，下列說法錯誤的是( )
A.頂點坐標為(1，﹣2) B.對稱軸是直線x=l
C.開口方向向上 D.當x>1時，y隨x的增大而減小
【考點】二次函數的性質.
【分析】根據拋物線的解析式得出頂點坐標是(1，﹣2)，對稱軸是直線x=1，根據a=1>0，得出開口向上，當x>1時，y隨x的增大而增大，根據結論即可判斷選項.
【解答】解：∵拋物線y=(x﹣1)2﹣2，
A、因為頂點坐標是(1，﹣2)，故說法正確;
B、因為對稱軸是直線x=1，故說法正確;
C、因為a=1>0，開口向上，故說法正確;
D、當x>1時，y隨x的增大而增大，故說法錯誤.
故選D.
【點評】本題主要考查對二次函數的性質的理解和掌握，能熟練地運用二次函數的性質進行判斷是解此題的關鍵.
9.如圖是二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.﹣1
【考點】二次函數與不等式(組).
【專題】壓軸題.
【分析】利用二次函數的對稱性，可得出圖象與x軸的另一個交點坐標，結合圖象可得出ax2+bx+c<0的解集.
【解答】解：由圖象得：對稱軸是x=2，其中一個點的坐標為(5，0)，
∴圖象與x軸的另一個交點坐標為(﹣1，0).
利用圖象可知：
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集，
∴x<﹣1或x>5.
故選：D.
【點評】此題主要考查了二次函數利用圖象解一元二次方程根的情況，很好地利用數形結合，題目非常典型.
10.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC的大小為( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
【考點】圓內接四邊形的性質;平行四邊形的性質;圓周角定理.
【分析】設∠ADC的度數=α，∠ABC的度數=β，由題意可得 ，求出β即可解決問題.
【解答】解：設∠ADC的度數=α，∠ABC的度數=β;
∵四邊形OADC是平行四邊形，
∴∠ADC=∠AOC;
∵∠ADC= β，∠AOC=α;而α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故選C.
【點評】該題主要考查了圓周角定理及其應用問題;應牢固掌握該定理并能靈活運用.
11.用一個半徑為18cm，圓心角為140°的扇形做成一個圓錐的側面，這個圓錐的底面半徑是( )
A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm
【考點】圓錐的計算.
【分析】利用圓錐的側面展開圖中扇形的弧長等于圓錐底面的周長可得.
【解答】解：設此圓錐的底面半徑為r，由題意，得
2πr= ，
解得r=7.
故選A.
【點評】本題考查了圓錐的計算，圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.本題就是把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關系，列方程求解.
12.在平面直角坐標系中有兩點A(6，2)、B(6，0)，以原點為位似中心，相似比為1：3，把線段AB縮小，則過A點對應點的反比例函數的解析式為( )
A. B. C. D.
【考點】待定系數法求反比例函數解析式;位似變換.
【專題】壓軸題.
【分析】先根據相似比為1：3，求A點對應點的坐標，再利用待定系數法求解析式.
【解答】解：∵△A1B1O和ABO以原點為位似中心，
∴△A1B1O∽△ABO，相似比為1：3，
∴A1B1= ，OB1=2，
∴A1的坐標為(2， )或(﹣2，﹣ )，
設過此點的反比例函數解析式為y= ，則k= ，
所以解析式為y= .
故選B.
【點評】此題關鍵運用位似知識求對應點坐標，然后利用待定系數法求函數解析式.
13.如圖，某數學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細)，則所得扇形DAB的面積為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考點】扇形面積的計算.
【分析】由正方形的邊長為3，可得弧BD的弧長為6，然后利用扇形的面積公式：S扇形DAB= ，計算即可.
【解答】解：∵正方形的邊長為3，
∴弧BD的弧長=6，
∴S扇形DAB= = ×6×3=9.
故選D.
【點評】此題考查了扇形的面積公式，解題的關鍵是：熟記扇形的面積公式S扇形DAB= .
14.如圖，函數y= 和y= 的圖象分別是l1和l2，設點P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點B，則三角形PAB的面積為( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【考點】反比例函數系數k的幾何意義.
【分析】設P的坐標是(a， )，推出A的坐標和B的坐標，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根據三角形的面積公式求出即可.
【解答】解：∵點P在y= 上，
∴|xp|×|yp|=|k|=1，
∴設P的坐標是(a， )(a為正數)，
∵PA⊥x軸，
∴A的橫坐標是a，
∵A在y=﹣ 上，
∴A的坐標是(a，﹣ )，
∵PB⊥y軸，
∴B的縱坐標是 ，
∵B在y=﹣ 上，
∴代入得： =﹣ ，
解得：x=﹣3a，
∴B的坐標是(﹣3a， )，
∴PA=| ﹣(﹣ )|= ，
PB=|a﹣(﹣3a)|=4a，
∵PA⊥x軸，PB⊥y軸，x軸⊥y軸，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面積是： PA×PB= × ×4a=8.
故選A.
【點評】本題考查了反比例函數和三角形面積公式的應用，關鍵是能根據P點的坐標得出A、B的坐標，本題具有一定的代表性，是一道比較好的題目.
15.已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，給出以下結論：
?、賏+b+c<0;②a﹣b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.
其中所有正確結論的序號是( )
A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③
【考點】二次函數圖象與系數的關系.
【專題】壓軸題.
【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.
【解答】解：①當x=1時，結合圖象y=a+b+c<0，故此選項正確;
?、诋攛=﹣1時，圖象與x軸交點負半軸明顯小于﹣1，∴y=a﹣b+c>0，故本選項錯誤;
?、塾蓲佄锞€的開口向上知a>0，
∵對稱軸為1>x=﹣ >0，
∴2a>﹣b，
即2a+b>0，
故本選項錯誤;
?、軐ΨQ軸為x=﹣ >0，
∴a、b異號，即b<0，
圖象與坐標相交于y軸負半軸，
∴c<0，
∴abc>0，
故本選項正確;
∴正確結論的序號為①④.
故選：C.
【點評】此題主要考查了二次函數圖象與系數關系，同學們應掌握二次函數y=ax2+bx+c系數符號的確定：
(1)a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a>0;否則a<0;
(2)b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=﹣ 判斷符號;
(3)c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c>0;否則c<0;
(4)當x=1時，可以確定y=a+b+C的值;當x=﹣1時，可以確定y=a﹣b+c的值.
16.如圖，正方形ABCD和正△AEF都內接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點G、H，則 的值是( )
A. B. C. D.2
【考點】正多邊形和圓.
【專題】壓軸題.
【分析】首先設⊙O的半徑是r，則OF=r，根據AO是∠EAF的平分線，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少;然后判斷出OI、CI的關系，再根據GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出 的值是多少即可.
【解答】解：如圖，連接AC、BD、OF， ，
設⊙O的半徑是r，
則OF=r，
∵AO是∠EAF的平分線，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r•sin60°= ，
∴EF= ，
∵AO=2OI，
∴OI= ，CI=r﹣ = ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ，
即則 的值是 .
故選：C.
【點評】此題主要考查了正多邊形與圓的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確正多邊形的有關概念：①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心.②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.
二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分，請把各小題正確答案填寫在對應題號的橫線處.
17.為解決“最后一公里”的交通接駁問題，北京市投放了大量公租自行車供市民使用，到2014年底，全市已有公租自行車25000輛，預計到2016年底，全市將有公租自行車42250輛，則兩年的平均增長率為 30% .
【考點】一元二次方程的應用.
【專題】增長率問題.
【分析】一般用增長后的量=增長前的量×(1+增長率)，設增長率為x，由題意可得25000(1+x)2=42250，經解和檢驗后得增長率是30%.
【解答】解：設增長率為x，由題意可得25000(1+x)2=42250
解得x=0.3或﹣2.3(不合題意，舍去)
即增長率是30%，
故答案為：30%.
【點評】本題考查的是一元二次方程中的增長率問題，一般形式為a(1+x)2=b，a為起始時間的有關數量，b為終止時間的有關數量，難度不大.
18.如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD=3，AB=7，BF=2，則FC的長為 .
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】根據平行四邊形的判定定理和性質定理得到EF=BD=4，根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可.
【解答】解：∵AD=3，AB=7，
∴BD=4，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形BDEF是平行四邊形，
∴EF=BD=4，
∵EF∥AB，
∴ = ，即 = ，
解得CF= .
故答案為： .
【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應用和平行四邊形的判定和性質的應用，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵.
19.如圖，用總長度為12米的不銹鋼材料設計成如圖所示的外觀為矩形的框架，所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行，則矩形框架ABCD的最大面積為 4 m2.
【考點】二次函數的應用.
【分析】用含x的代數式(12﹣3x)÷3=4﹣x表示橫檔AD的長，然后根據矩形面積公式得到二次函數，利用二次函數的性質，求出矩形的最大面積
【解答】解：∵AB為x米，則AD= =4﹣x，
S長方形框架ABCD=AB×AD=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4，
當x=2時，S取得最大值=4;
∴長方形框架ABCD的面積S最大為4m2.
故答案為：4.
【點評】本題考查的是二次函數的應用，根據面積公式得二次函數，利用二次函數的性質求最值是解題的關鍵.
20.如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=8cm，C、D為弧AB的三等分點，M是AB上一動點，CM+DM的最小值是 8 cm.
【考點】軸對稱-最短路線問題;勾股定理;垂徑定理.
【分析】作點C關于AB的對稱點C′，連接C′D與AB相交于點M，根據軸對稱確定最短路線問題，點M為CM+DM的最小值時的位置，根據垂徑定理可得 = ，然后求出C′D為直徑，從而得解.
【解答】解：如圖，作點C關于AB的對稱點C′，連接C′D與AB相交于點M，
此時，點M為CM+DM的最小值時的位置，
由垂徑定理， = ，
∴ = ，
∵ = = ，AB為直徑，
∴C′D為直徑.則CD′=AB=8(cm).
故答案是：8.
【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理，熟記定理并作出圖形，判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長度是解題的關鍵.
三、解答題：本大題共6個小題，共66分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
21.已知反比例函數y= (k為常數，k≠1).
(1)其圖象與正比例函數y=x的圖象的一個交點為P，若點P的縱坐標是2，求k的值;
(2)若在其圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍;
(3)若其圖象的一支位于第二象限，在這一支上任取兩點A(x1、x2)、B(x2、y2)，當y1>y2時，試比較x1與x2的大小;
(4)若在其圖象上任取一點，向x軸和y軸作垂線，若所得矩形面積為6，求k的值.
【考點】反比例函數的性質;反比例函數系數k的幾何意義;反比例函數圖象上點的坐標特征.
【分析】(1)設點P的坐標為(m，2)，由點P在正比例函數y=x的圖象上可求出m的值，進而得出P點坐標，再根據點P在反比例函數y= 的圖象上，所以2= ，解得k=5;
(2)由于在反比例函數y= 圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，故k﹣1>0，求出k的取值范圍即可;
(3)反比例函數y= 圖象的一支位于第二象限，故在該函數圖象的每一支上，y隨x的增大而增大，所以A(x1，y1)與點B(x2，y2)在該函數的第二象限的圖象上，且y1>y2，故可知x1>x2;
(4)利用反比例函數的比例系數的幾何意義直接寫出答案即可.
【解答】解：(1)由題意，設點P的坐標為(m，2)
∵點P在正比例函數y=x的圖象上，
∴2=m，即m=2.
∴點P的坐標為(2，2).
∵點P在反比例函數y= 的圖象上，
∴2= ，解得k=5.
(2)∵在反比例函數y= 圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，
∴k﹣1>0，解得k>1.
(3)∵反比例函數y= 圖象的一支位于第二象限，
∴在該函數圖象的每一支上，y隨x的增大而增大.
∵點A(x1，y1)與點B(x2，y2)在該函數的第二象限的圖象上，且y1>y2，
∴x1>x2.
(4)∵在其圖象上任取一點，向兩坐標軸作垂線，得到的矩形為6，
∴|k|=6，
解得：k=±6.
【點評】本題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題及反比例函數的性質，熟知反比例函數的增減性是解答此題的關鍵.
22.如圖，一艘漁船正以30海里/小時的速度由西向東趕魚群，在A處看風小島C在船的北偏東60度.40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東30度.已知以小島C為中心周圍10海里以內為我軍導彈部隊軍事演習的著彈危險區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進入危險區(qū)的可能?
【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.
【分析】根據題意實質是比較C點到AB的距離與10的大小.因此作CD⊥AB于D點，求CD的長.
【解答】解：作CD⊥AB于D，
根據題意，AB=30× =20，∠CAD=30°，∠CBD=60°，
在Rt△ACD中，AD= = CD，
在Rt△BCD中，BD= = CD，
∵AB=AD﹣BD，
∴ CD﹣ CD=20，
CD= >10，
所以不可能.
【點評】本題考查了解直角三角形的應用，“化斜為直”是解三角形的常規(guī)思路，常需作垂線(高)，構造直角三角形.原則上不破壞特殊角(30°、45°、60°).
23.如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的圓O交AC于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為E，連接OE.
(1)求證：DE是⊙O的切線;
(2)若CD= ，∠ACB=30°，求OE的長.
【考點】切線的判定.
【分析】(1)連接OD、BD，求出BD⊥AC，AD=DC，根據三角形的中位線得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據切線的判定推出即可;
(2)解直角三角形求出BC、BD，求出AB得出OD，根據三角形的面積公式求出高DE，在△ODE中，根據勾股定理求出OE即可.
【解答】(1)證明：連接OD、BD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D為AC中點，
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O的切線;
(2)解：∵CD= ，∠ACB=30°，
∴cos30°= ，
∴BC=2，
∴BD= BC=1，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C=30°，
∵BD=1，
∴AB=2BD=2，
∴OD=1，
在Rt△CDB中，由三角形面積公式得：BC×DE=BD×CD，
1× =2DE，
DE= ，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE= = .
【點評】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，三角形的面積公式，含30度角的直角三角形，解直角三角形等知識點的綜合運用.
24.某廠生產A、B兩種產品，其單價隨市場變化而做相應調整，營銷人員根據前三次單價變化的情況，繪制了如下統(tǒng)計表及不完整的折線圖：
第一次 第二次 第三次
A產品單價(元/件) 6 5.2 6.5
B產品單價(元/件) 3.5 4 3
并求得了A產品三次單價的平均數和方差：
;SA2= [(6﹣5.9)2+(5.2﹣5.9)2+(6.5﹣5.9)2]=
(1)補全“A、B產品單價變化的折線圖”，B產品第三次的單價比上一次的單價降低了百分之多少?
(2)求B產品三次單價的方差，并比較哪種產品的單價波動小;
(3)該廠決定第四次調價，A產品的單價仍為6.5元/件.
則A產品這四次單價的中位數是 6.25 元/件.
若A產品這四次單價的中位數是B產品四次單價中位數的2倍少1，則B產品的第四次單價為 3.75 元/件.
【考點】方差;折線統(tǒng)計圖;中位數.
【分析】(1)根據題目提供數據補充折線統(tǒng)計圖即可;
(2)分別計算平均數及方差即可;
(3)首先確定這四次單價的中位數，然后確定第四次調價的范圍，根據“A產品這四次單價的中位數是B產品四次單價中位數的2倍少1”列式求出B產品這四次單價的中位數即可求得B產品的第四次單價.
【解答】解：(1)補全“A、B產品單價變化的折線圖”如圖所示：
B產品第三次的單價比上一次的單價降低的百分數為： ×100%=25%;
(2) = (3.5+4+3)=3.5;
SB2= [(3.5﹣3.5)2+(4﹣3.5)2+(3﹣3.5)2]= ，
∵ < ，
∴B產品的單價波動小;
(3)A產品這四次單價的中位數是： =6.25，
設B產品這四次單價的中位數是x元/件.
根據題意：2x﹣1=6.25，
x=3.625，
∴第四次單價應大于3.5，小于4，
∵ =3.625，
∴a=3.75元/件
故答案為6.25，3.75.
【點評】本題考查了方差、條形統(tǒng)計圖、算術平均數、中位數的知識，解題的關鍵是根據方差公式進行有關的運算，難度不大.
25.(1)問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°.求證：AD•BC=AP•BP.
(2)探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結論是否依然成立?說明理由.
(3)應用：請利用(1)(2)獲得的經驗解決問題：
如圖3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10.點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A.設點P的運動時間為t(秒)，當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，求t的值.
【考點】圓的綜合題.
【分析】(1)由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題;
(2)由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題;
(3)過點D作DE⊥AB于點E，根據等腰三角形的性質可得AE=BE=6，根據勾股定理可得DE=8，由題可得DC=DE=8，則有BC=10﹣8=2.易證∠DPC=∠A=∠B.根據AD•BC=AP•BP，就可求出t的值.
【解答】(1)證明：如圖1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴ ，
∴AD•BC=AP•BP;
(2)結論AD•BC=AP•BP仍成立;
理由：證明：如圖2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠APD，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠APD，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴ ，
∴AD•BC=AP•BP;
(3)解：如下圖，過點D作DE⊥AB于點E，
∵AD=BD=10，AB=12，
∴AE=BE=6
∴DE= =8，
∵以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，
∴DC=DE=8，
∴BC=10﹣8=2，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由(1)(2)的經驗得AD•BC=AP•BP，
又∵AP=t，BP=12﹣t，
∴t(12﹣t)=10×2，
∴t=2或t=10，
∴t的值為2秒或10秒.
【點評】本題是對K型相似模型的探究和應用，考查了相似三角形的判定與性質、切線的性質、等腰三角形的性質、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性質、解一元二次方程等知識，以及運用已有經驗解決問題的能力，滲透了特殊到一般的思想.
26.如圖，拋物線y=ax2+bx+3經過A(﹣3，0)，B(﹣1，0)兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設拋物線的頂點為M，直線y=﹣2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D.現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點C)只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)直接用待定系數法就可以求出拋物線的解析式;
(2)由(1)的解析式求出拋物線的頂點坐標，根據拋物線的頂點坐標求出直線OD的解析式，設平移后的拋物線的頂點坐標為(h， h)，就可以表示出平移后的解析式，當拋物線經過點C時就可以求出h值，拋物線與直線CD只有一個公共點時可以得出 ，得x2+(﹣2h+2)x+h2+ h﹣9=0，從而得出△=(﹣2h+2)2﹣4(h2+ h﹣9)=0求出h=4，從而得出結論.
【解答】解：(1)拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+3經過A(﹣3，0)，B(﹣1，0)兩點，
∴ ，
解得 ，
∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3.
(2)由(1)配方得y=(x+2)2﹣1，
∴拋物線的頂點坐標為M(﹣2，﹣1)，
∴直線OD的解析式為y= x，
于是可設平移后的拋物線的頂點坐標為(h， h)，
∴平移后的拋物線的解析式為y=(x﹣h)2+ h，
當拋物線經過點C時，∵C(0，9)，
∴h2+ h=9.
解得h= ，
∴當 ≤h< 時，平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點;
當拋物線與直線CD只有一個公共點時，
由方程組 ，
得x2+(﹣2h+2)x+h2+ h﹣9=0，
∴△=(﹣2h+2)2﹣4(h2+ h﹣9)=0，
解得h=4，
此時拋物線y=(x﹣4)2+2與直線CD唯一的公共點為(3，3)，點(3，3)在射線CD上，符合題意.
故平移后拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標的取值范圍是 ≤h< 或h=4.
【點評】本題考查了待定系數法求拋物線的解析式，二次函數圖象與幾何變換及方程組與交點坐標的運用，利用根的判別式判斷得出是解題關鍵.
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